[mendoza]

Buenos días,

El martes tengo un exámen de análisis y me gustaría tener esta integral resuelta.

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{1-x^2}}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{1-x^2-y^2}}\sqrt[ ]{1-x^2+y^2+z^2} \)

Yo he intentado de empezarla .... la he pasado a esféricas

\( x=\varrho sen\phi cos\varphi \)
\( y=\varrho sen\phi sen\varphi \)
\( z=\varrho cos\phi \)

\( x^2+y^2+z^2=\varrho^2 \)

\( \displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\varphi \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}sen\phi d\phi \displaystyle\int_{0}^{1}\varrho^2\sqrt[ ]{1-\varrho^2}d\varrho \)

Bueno a partir de aquí ..... la primera y la segunda integral es inmediata y se hacerla, pero la tercera integral haciendo el cambio correspondiente me ha dado:

\( \displaystyle\int_{}^{}sen^2t cos^2t dt \)

La tercera integral la verdad es que no se cómo resolverla ... y otra duda que tengo es .... que cuando resuelva esta tercera integral tengo las tres integrales multiplicando, esto lo resolvería multiplicando los resultados correspondientes a cada integral, no?

Muchísimas gracias de antemano,

Un saludo,
Mendoza

[Abdulai]

- La integral es en un octante --> el intervalo de integración de  \( \varphi \)  es  \( \dfrac{\pi}{2} \)

-  \( 1-x^2+y^2+z^2 \neq 1-\rho^2 \)    salvo que te hayas olvidado el paréntesis.

-  \( \sin^2t\cos^2t=\dfrac{\sin^2(2t)}{4}=\dfrac{1-\cos(4t)}{8} \)

[mendoza]

- La integral es en un octante --> el intervalo de integración de  \( \varphi \)  es  \( \dfrac{\pi}{2} \)

Por lo que la intregral sería:

\( \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}d\varphi \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}sen\phi d\phi \displaystyle\int_{0}^{1}\varrho^2\sqrt[ ]{1-\varrho^2}d\varrho \)

-  \( \sin^2t\cos^2t=\dfrac{\sin^2(2t)}{4}=\dfrac{1-\cos(4t)}{8} \)

Al hacer la integral de \( \sin^2t\cos^2t \) me sale:

\( \displaystyle\frac{1}{8}t-\displaystyle\frac{1}{32}sen4t \)


Por lo que ahora debería de multiplicar los resultados de las tres integrales¿? , es decir:
\( \displaystyle\int_{0}^{ \pi /2}d\varphi \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}sen\phi d\phi \displaystyle\int_{0}^{1}sen^2t cos^2t dt \)

\( (\displaystyle\frac{\pi}{2})(-cos\displaystyle\frac{\pi}{2})(\displaystyle\frac{1}{8}-\displaystyle\frac{1}{32}sen4)=0,1929 \)

Estaría bien ese resultado?

Gracias

[Abdulai]

No, está mal por donde lo mires.

- El coseno de  \( \frac{\pi}{2} \)  es 0 --> Nunca puede darte ese resultado.

- Pero tampoco la  integral es eso, sino  \( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\phi d\phi = \left. -\cos \phi \;\;\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-\cos(\frac{\pi}{2})+\cos(0)=-0+1 = 1 \)

- Si se hace la sustitución de  \( \rho=\sin t \)  el intervalo de integración cambia a  \( \left[0,\frac{\pi}{2}\right] \)


En resumen, esa integral te debe dar  \( \dfrac{\pi^2}{32} \)

[mendoza]

Si no he entendido mal, sería del siguiente modo:

\( \displaystyle\int_{0}^{ \pi /2}d\varphi \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}sen\phi d\phi \displaystyle\int_{0}^{\pi /2}sen^2t cos^2t dt \)

y el resultado de las tres integrales sería \( \dfrac{\pi^2}{32} \)

Así ya estaría bien?

Gracias

[Abdulai]

Así ya estaría bien?

Pensalo... Estoy seguro que te vas a dar cuenta.

[mendoza]

Puffff ..... pues la verdad es que no caigo..ehh??   

[mendoza]

Es que no se...pero la integral de \( \displaystyle\int_{0}^{ \pi /2}d\varphi  \)  es \( \pi /2 \)
la integral de \( \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}sen\phi d\phi  \)  es 1
y la integral de \( \displaystyle\int_{0}^{\pi /2}sen^2t cos^2t dt \) es \( \pi/16 \)

y todos los resultados multiplicados dan \( \dfrac{\pi^2}{32} \)

De verdad que no caigo donde esta el error 

[Abdulai]

No me refería al valor de la integral triple sino a que después del paso a polares no podés saltar elegantemente  a:  \( =\dfrac{\pi^2}{32} \)   porque  \( \displaystyle\int_{0}^{\pi /2}sen^2t cos^2t dt=\dfrac{\pi}{16} \)  no es un resultado evidente, sino a que tenés que desarrollar esa integral.

[mendoza]

Ahhh vale vale, claro evidentemente anteriormente he desarrollado la integral satisfactoriamente jeje xD

Gracias!!