[choboku]

Hallar el valor de \( m\in{R} \) para que la integra \( \displaystyle\int_{2}^{\infty}(\displaystyle\frac{mx}{x^2+1}-\displaystyle\frac{1}{2x+1})dx \) sea convergente.

Lo primero que hice fue

\( \displaystyle\lim_{t \to{}\infty}{}m\in{R} \) para que la integra \( \displaystyle\int_{2}^{t}(\displaystyle\frac{mx}{x^2+1}-\displaystyle\frac{1}{2x+1})dx \)

Despues separe la integral en 2 partes (por la resta) y me dediqué solo a la parte donde esta m. Así llegué a esto:

\( \displaystyle\lim_{t \to{}\infty}{\displaystyle\frac{m}{2}(Ln(\displaystyle\frac{(t^2+1)}{5})} \)

Lo único que me quedaría por hace es m=0, pero me quedaría la indeterminación \( 0 . \infty \)

[Fernando Revilla]

No hace falta calcular la integral. El integrando es:

\( f(x)=\displaystyle\frac{mx}{x^2+1}-\displaystyle\frac{1}{2x+1}=\displaystyle\frac{(2m-1)x^2+mx-1}{(x^2+1)(2x+1)} \)

Entonces, por un conocido criterio de convergencia, \( f(x)\sim \displaystyle\frac{1}{x^2} \) si \( 2m-1=0 \) (convergente) y \( f(x)\sim \displaystyle\frac{1}{x} \) si \( 2m-1\neq 0 \) (divergente).

[choboku]

¿No se podría solucionar de otra manera? Creo que en la cursada nunca vimos eso de los criterios de convergencia.

[Fernando Revilla]

¿No se podría solucionar de otra manera? Creo que en la cursada nunca vimos eso de los criterios de convergencia.

En tal caso, como lo habías planteado pero no puedes prescindir del sumando sin \( m \). La integral indefinida te dará \( \displaystyle\frac{1}{2}\log \left |{\displaystyle\frac{(x^2+1)^m}{x+1}}\right | \) y de ahí fácilmente deducirás que la integral converge sii \( m=1/2 \).