[Vickyale]

\( \displaystyle\int\dfrac{e^x}{e^{2x}+4e^x+6}dx \)

Lo que hice primero fue sustitución pero después me queda algo que parece resolverse por fracciones simples pero como el denominador no tiene raíces, no lo puedo seguir desarrollando y quedo trabada ahí... ¿Se puede seguir resolviendo o ahí termina, o sea que no tiene solución?

¡Gracias!

[pierrot]

Hola

Si haces \( t=e^x \):

\( \displaystyle\int\dfrac{1}{t^2+4t+6}dt=\int\dfrac{1}{(t+2)^2+(\sqrt{2})^2}dt \)

¿Se puede seguir resolviendo o ahí termina, o sea que no tiene solución?

Toda función racional (cociente de polinomios) admite una primitiva elemental.

Saludos

[Vickyale]

¿Siempre que haya una integral que como en este caso el denominador no tenga raíces reales, debo transformarla para que la solución sea de tipo Ln+arcotangente?

[pierrot]

¿Siempre que haya una integral que como en este caso el denominador no tenga raíces reales, debo transformarla para que la solución sea de tipo Ln+arcotangente?

A veces puede quedar distinto si el denominador tiene raíces complejas múltiples. En este caso particular, aparece sólo un arcotangente, pues:

\( \displaystyle\int\dfrac{1}{(t+2)^2+(\sqrt{2})^2}dt=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\arctg\Big(\dfrac{t+2}{\sqrt{2}}\Big)+C \)

Ahora debes sustituir \( t=e^x \).

Saludos

[Vickyale]

Muchísimas gracias por aclararme las dudas