[Michel]

Se da una circunferencia c de centro O y un punto P en ella.
Construir un punto Q en c de forma que el ángulo QPO mida 60º; otro punto R en c tal que el ángulo RPO mida 45º y el ángulo QPR sea agudo.
Sea S la intersección de PR y QO. ¿Cuánto mide QSP?
Sea r la perpendicular por P a PO y sea T la intersección de r y QO. Hallar el área del triángulo si el radio de la circunferencia es 8.

[Michel]

En el triángulo PQS el ángulo en Q mide mide 60º, porque el triángulo OPQ es equilátero, y el ángulo en P mide 60º-45º=15º; por tanto el ángulo QSP medirá 180º-(60º+15º)=105º.

El triángulo POT es rectángulo en P y el ángulo en T mide 30º, por ser de 60º el ángulo en O.

Si OP=8, OT medirá 16, porque el cateto opuesto a un ángulo de 30º es la mitad de la hipotenusa.

Entonces \( PT=8\sqrt[ ]{3} \)  y el área valdrá \( 32\sqrt[ ]{3} \)