[lmnop]

Buenas!

Tengo una función z(x,y) que está definida implícitamente por \( e^{z-x} + z + y + 1 = 0  \).

Estos problemas yo siempre los resuelvo derivando término por término, y cuando en este caso me sale la z, pues añado z'. Cuando he terminado de derivar despejo z' y tengo la derivada. El caso es que en el \( e^{z-x} \) no se como derivarlo al tener dos variables. Otros ejercicios en los que me ha cuadrado dos variables en un mismo término han sido del estilo 5xy por ejemplo, por lo que en estos casos derivaba como una multiplicación.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ten en cuenta que no puedes hablar simplemente de \( z' \) porque es una función de dos variables. Entonces si llamas:

\(  z_x=\dfrac{{\partial z}}{{\partial x}},\qquad  z_y=\dfrac{{\partial z}}{{\partial y}} \)

 y derivas la ecuación dada respecto de \( x \) queda:

\(  (z_x-1)e^{z-x}+z_x=0 \)

 Ahora deriva respecto de \( y \).

 Despejando hallarás las derivadas parciales de \( z \) respecto de \( x,y \).

Saludos.

[lmnop]

Bueno, es que me olvidé de añadir un dato.

Lo que pide el problema es \( {\partial z}/{\partial x} \) y la derivada segunda también.

Entonces lo que hago es como lo hacía, pero en el caso del \( e^{z-x} \) solo derivo respecto de z y no de x.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bien. Ya te he indicado como hallar la parcial respecto de \( x \).

 Intenta siguiendo la misma idea hallar la derivada parcial segunda.

Saludos.

[lmnop]

Hola!

Al final estoy haciendo el ejercico usando la fórmula  \( \dfrac{{\partial z}}{{\partial x}} = \dfrac{{-F_x}}{{F_z}} \)

La función está en un entorno del punto (x,y,z) = (1,-3,1).

Me pide calcular \( \dfrac{{\partial z}}{{\partial x}}(1,-3), \qquad \dfrac{{\partial^2 z}}{{\partial x^2}}(1,-3)\qquad y \qquad\dfrac{{\partial^2 z}}{{\partial y}{\partial x}}(1,-3) \)

Bien, he hecho las derivadas parciales \( F_x, F_x_x, F_y, F_y_x, F_z y F_z_z \) y calculo las derivadas siguiendo la fórmula que he puesto. El problema lo tengo a la hora de evaluarla pues no si me fijo en el enunciado veo que X = 1 y Z = 1, sin embargo a la hora de evaluar la derivada veo que me dan (1,-3). Uso el 1 para la Z y el -3 para la X, o viceversa? Si el tercer ejercicio tuviera X,Y,Z (no lo tiene pues \( {\partial y}{\partial x} = 0 \) y por lo tanto la derivada sale 0) como se evaluaría si solo me están dando dos puntos?

Por ejemplo sobre esto último que comento:

\( F(x,y,z) = xy + xz +yz - e^z = 0 \)
\( \dfrac{{\partial z}}{{\partial x}}(1,1) = \dfrac{{-(y+z)}}{{x+y-e^z}} \)

Si solo tengo (1,1), como evaluo la derivada si tiene x,y,z?

[Luis Fuentes]

Hola

 \( (1,-3) \) son los valores de \( (x,y). \)

 El valor de \( z \) es \( z=1 \) ya que \( (x,y,z)=(1,-3,1) \) satisface la ecuación:

\( F(x,y,z)=0\quad \Leftrightarrow{}\quad e^{z-x} + z + y + 1 = 0  \)

Saludos.

[lmnop]

Pero entonces como evaluo la derivada si por ejemplo la primera me queda \( \dfrac{{e^{z-x}}}{{e^{z-x}+1}} \) y como puedes observar hay Z sin embargo me pide evaluar la derivada en (1,-3)?

O mira el edit que hice, en ese problema la derivada tiene las tres variables, pero solo me da 2 puntos.

[Luis Fuentes]

Hola

Pero entonces como evaluo la derivada si por ejemplo la primera me queda \( \dfrac{{e^{z-x}}}{{e^{z-x}+1}} \) y como puedes observar hay Z sin embargo me pide evaluar la derivada en (1,-3)?

O mira el edit que hice, en ese problema la derivada tiene las tres variables, pero solo me da 2 puntos.

¿Pero has leído mi anterior respuesta? El punto donde has de trabajar es:

\( x_0=1,\qquad y_0=-3,\qquad z_0=1 \)

Saludos.

[lmnop]

Se ve que no has entendido lo que te estoy preguntando.

En el enunciado pone (x,y,z) = (1,-3,1). Eso está claro que x = 1, y = -3 y z = 1.

Pero después en los apartados pone por ejemplo el a) \( \dfrac{{\partial z}}{{\partial x}}(1,-3), \qquad \dfrac{{\partial^2 z}}{{\partial x^2}}(1,-3)\qquad y \qquad\dfrac{{\partial^2 z}}{{\partial y}{\partial x}}(1,-3) \)

¿Por qué (1,-3)? Por qué no pone (1,-3,1)?

[Luis Fuentes]

Hola

Se ve que no has entendido lo que te estoy preguntando xD

En el enunciado pone (x,y,z) = (1,-3,1). Eso está claro que x = 1, y = -3 y z = 1.

Pero después en los apartados pone por ejemplo el a) \( \dfrac{{\partial z}}{{\partial x}}(1,-3), \qquad \dfrac{{\partial^2 z}}{{\partial x^2}}(1,-3)\qquad y \qquad\dfrac{{\partial^2 z}}{{\partial y}{\partial x}}(1,-3) \)

¿Por qué (1,-3)? Por qué no pone (1,-3,1)?

Te he entendido perfectamente; pero parece que soy yo el que no logro hacerme expresar.

Estamos estudiando \( z \) como función de \( x \) e \( y \). La relación entre esas tres variables viene determinada por la ecuación:

\( e^{z-x} + z + y + 1 = 0  \)

el problema es que no somos capaces de despejar explícitamente \( z \) en función de \( x \) e \( y \).

Por tanto tiene sentido que cuando te piden cualquier derivada parcial de \( z \), te indiquen sólamente los valores de \( x \) y de \( y \) donde debes de calcularla.

Ahora en las expresiones de las derivadas parciales te aparece \( z \); esto no contradice lo anterior, porque a su  vez \( z \) depende de \( x \) y de \( y \) (el hecho de no saber despejar \( z \) explícitamente nos impide dejar la expresión de las derivadas de manera explícita en función de x,y).

Pero lo que si sabemos es que cuando \( x=1, y=-3 \) entonces \( z=1 \). Y por tanto en la expresión de cualquier parcial evaludad en \( (x_0,y_0)=(1,-3) \) donde aparezca \( x \) susituiremos por \( 1 \); donde aperezca \( y \) susituiremos por \( -3 \); donde aparezca \( z \) sustituiremos por \( 1 \).

Saludos.