[Dabt]

Si me pueden ayudar con este ejercicio estaría muy agradecido: Si \( X \) es compacto entonces el conjunto \( S= \{ x+y: x,y\in{X} \} \) es compacto. Ya probé que es acotado y además, esta contención \( S  \subset{\overline{S}} \) ya la tengo lista, la otra es la que no me sale.

[Luis Fuentes]

Hola

 Entiendo que \( X \) es un subconjunto de \( R^n \) con la topología usual.

 Ten en cuenta que la aplicación:

\(  f:R^n\times R^n\longrightarrow{}R^n,\quad f(x,y)=x+y \)

 es continua y por tanto lleva compactos en compactos.

 Además \( S=f(X\times X) \).

Saludos.

[Dabt]

Si me pueden ayudar con este ejercicio estaría muy agradecido: Si \( X \)  es compacto entonces el conjunto \( S=\{x+y:x,y\in{X}\} \) es compacto. Ya probé que es acotado y además esta contención \( S  \subset{\overline{S}} \) , la otra es la que no me sale.

[Tanius]

Pero no basta con ver que es cerrado y acotado.

Lo que puedes hacer es probar que toda sucesión en ese conjunto tiene una subsucesión convergente.

[Dabt]

Estas seguro que no alcanza con mostrar eso? Esa es la definición que tengo de compacto. 

[Megus]

Tengo dudas, o sea \( f(X) \) es compacto, luego cerrado y acotado, pero me sirve para probar la compacidad de \( S \) ?

[Megus]

La definición para cualquier espacio métrico es por recubrimientos, así que no basta probar si dado \( X \) espacio métrico con que sea cerrado y acotado, pero si es \( X\subseteq\mathbb R^n, \) ahí puedes usar que cerrado y acotado implica compacto.

[mario]

Dabt

Con diferencia de horas duplicaste tu mensaje, lo que obligó a la administración a combinar los temas. Por favor, lee las reglas para entender por qué no conviene repetir un mensaje.

Saludos.