[julian403]

¿Por qué se dice que las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización? No entiendo por qué se dice eso, si tanto las componentes del campo como la curva tienen que estar parametrizadas por el mismo parámetro de manera de poder integrar.

\( \displaystyle\int_{C} \vec{F}d{r} = \displaystyle\int_{a}^{b} \vec{F}(x(t),y(t))  \left\|{r'(t)}\right\|dt \)

Saludos.

[pierrot]

Tienes

\( r(t)=\big(x(t),y(t)\big), \quad a\leq t\leq b \)

parametrización de una cierta curva \( C \) orientada en algún sentido.

Ahora considera

\( \hat{r}(t)=\big(\hat{x}(t),\hat{y}(t)\big), \quad c\leq t\leq d \)

otra parametrización de \( C \) distinta de la anterior, pero orientada en el mismo sentido.

Si es posible encontrar una función \( \phi:[a,b]\longrightarrow [c,d] \) biyectiva, derivable y monótona creciente, que cumpla \( r(t)=\hat{r}\big(\phi(t)\big) \) entonces tendrías que:

\( \displaystyle\int_C\vec{F}dr=\int_a^b\vec{F}\big(x(t),y(t)\big)\cdot\|r'(t)\|dt=\int_a^b\vec{F}\big[\hat{x}\big(\phi(t)\big),\hat{y}\big(\phi(t)\big)\big]\cdot\|\hat{r}'\big(\phi(t)\big)\phi'(t)\|dt \)

Llamando \( u=\phi(t) \) el teorema de sustitución (o cambio de variable) prueba el resto. Nota que \( \phi(a)=c \) y \( \phi(b)=d \). Además \( du=\phi'(t)dt \) con \( \phi'(t)\geq 0, \forall t\in (a,b) \) pues \( \phi \) es monótona creciente, con lo cual \( |\phi'(t)|=\phi'(t) \).

Si el campo \( F \) fuera vectorial en vez de escalar, la prueba sería idéntica.

Yo creo que lo complicado sería demostrar la existencia de una función \( \phi \) en las condiciones anteriores, pues lo demás es una consecuencia directa.

Saludos