[Dabt]

Sean \( I_1\supset{I_2}\supset{...}\supset{I_n}\supset{...} \) intervalos acotados disjuntos dos a dos cuya intersección \( I=\bigcap\limit_{n=1}^{\infty}{I_n} \) no es vacía. Pruebe que \( I \) es un intervalo que nunca es abierto.

[teeteto]

Revisa tu enunciado. Hay muchas cosas que no cuadran:

- Si están contenidos cada uno en el anterior, no pueden ser disjuntos 2 a 2.
- Si son disjuntos dos a dos, la intersección total es necesariemente vacía.

[Dabt]

Tienes razón, me equivoqué, no son disjuntos sino distintos. En realidad, el enunciado es:
Sean \( I_1\supset{I_2}\supset{...}\supset{I_n}\supset{...} \) intervalos acotados distintos dos a dos cuya intersección \( I=\bigcap\limit_{n=1}^{\infty}{I_n} \) no es vacía. Pruebe que \( I \)  es un intervalo que nunca es abierto.

[Luis Fuentes]

Hola

 Entonces supongamos que \( I=(a,b) \). Con \( a,b\not\in I \) existe \( N_0 \) tal que \( a,b\not\in I_n \) para todo \( n\geq N_0 \) y así \( I_n\subset (a,b) \). Por tanto:

 \( I=(a,b)\subset I_n\subset (a,b)=I \) para todo \( n\geq n_0 \)

 Pero entonces todos los intervalos serían iguales a partir de \( n_0 \) contradiciendo las hipótesis.

Saludos.

[teeteto]

Pero \( I \) no es necesariamente un intervalo.

Basta tomar \( I_n=(-1/n,1/n) \).