[Dabt]

Sean \( I \) un intervalo no degenerado y \( k>1 \) un número natural. Pruebe que el conjunto de los números racionales, cuyos denominadores son potencias de \( k \) con exponente \( n\in{\mathbb{N}} \) es denso en \( I \).

[numbsoul]

Basta probar que dados \( x<y \) (\( x,y\in \mathbb{R} \)),existe \( n\in\mathbb{N} \) y \( b\in\mathbb{Z} \) de modo que \( x<\dfrac{b}{k^{n}}<y \).Sin pérdida de generalidad,podemos suponer que \( x,y>0 \)

Existe \( n\in\mathbb{N} \) tal que \( \dfrac{1}{k^{n}}<y-x \).

Considera los números de la forma \( \dfrac{m}{k^{n}} \) con \( m\in\mathbb{N} \).

[Dabt]

Disculpa, no entiendo muy bien, para ver que el conjunto \( A=\{\dfrac{m}{k^{n}}:m\in{\mathbb{Z}} \} \) es denso en \( I \) debo mostrar que para cualesquiera \( x,y\in{I} \) con \( x<y \) existe \( a\in{A} \) tal que \( x<a<y \) no? Como haces para concluir eso desde esta desigualdad \( \dfrac{1}{k^{n}}<y-x \)?

[Luis Fuentes]

Hola

 Toma \( b=min\{n\in Z|\dfrac{n}{k^n}>x\} \) de manera que se cumple:

\(  \dfrac{b-1}{k^n}\leq x<\dfrac{b}{k^n} \)

 Entonces:

\(  \dfrac{b-1}{k^n}\leq x\quad \Rightarrow{}\quad \dfrac{b}{k^n}\leq x+\dfrac{1}{k^n}<x+(y-x)=y \)

Saludos.