[carlaa]

Estoy intentando resolver esta ecuación
\(  a^{n}=4a^{n-2}-2a^{n-4} \)
Muchas gracias!!!

[pierrot]

Hola

\( \begin{align}a^n-4a^{n-2}+2a^{n-4}&=0\\ a^{n-4}(a^4-4a^2+2)&=0\end{align} \)

De ahí que las posibilidades sean \( a^{n-4}=0 \) y \( a^4-4a^2+2=0 \), donde la última ecuación es bicuadrada.

Saludos

[carlaa]

Muchas gracias!!
Yo llegue hasta ahí pero luego vi la solución y pone:
\( a^{2n}=4a^{2n-2}-2a^{2n-4}=0 \)
y de ahí pone:
\( a^{2n}=cx^{n-1}+dy^{n-1}=0 \)
\( a^{2n}=cx^{n-1}+dy^{n-1}=0 \)
donde x e y son las soluciones de
\( x^2-4x+2=0 \)
y esta solución no la entiendo...
Gracias y un saludo.

[pierrot]

Yo tampoco. Si lo que hay que hacer es resolver en los reales la ecuación

\( \begin{equation}a^{n}=4a^{n-2}-2a^{n-4}\end{equation} \)

no entiendo la solución que aportas. Factorizando como en mi mensaje anterior, esa ecuación es equivalente a:

\( a^{n-4}(a^4-4a^2+2)&=0 \)

Por la propiedad hanckeliana, si el producto de dos números reales es 0, al menos uno de los factores debe ser nulo. Luego las posibilidades son:

1) \( a^{n-4}=0 \), es decir, \( a=0 \).

2) \( a^4-4a^2+2=0 \).

Para 2), llamando \( x=a^2 \) queda \( x^2-4x+2=0 \) que tiene por solución \( x=2\pm\sqrt{2} \) por lo que \( a=\pm\sqrt{2\pm\sqrt{2}} \).

Así el conjunto solución de \( (1) \) sería:

\( \big\{-\sqrt{2+\sqrt{2}},\ -\sqrt{2-\sqrt{2}},\ 0,\ \sqrt{2-\sqrt{2}},\ \sqrt{2+\sqrt{2}}\big\} \)

Saludos

[carlaa]

Ya, yo también creo que es así pero no entiendo la solución que dan...
Muchas gracias!!!

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo que están resolviendo es la ecuación de recurrencia:

\(  a_n=4a_{n-2}-2a_{n-4} \)

 Pero me sorprende carlaa, que no sepas tu que se refiere a eso. Parece como si hubieras pescado un ejercicio suelto "por ahí" sin saber contexto.

 ¿Conoces el método para resolver ecuaciones lineales de recurrencia? ¿En qué contexto te ha salido el problema?.

Saludos.