[carlaa]

Hola,

escribo para ver si alguien me puede echar una mano con este problema:
Sea A una matriz  y B=A+I, entonces utilizando el binomio de Newton tengo que \( B^n=(I+A)^n=I^n+nI^{n-1}A+\displaystyle\binom{n}{2}I^{n-1}A^2 \) , entoces mi problema es que no se donde sale \( B^{-n}=(I-A+A^2)^n=I-nA+nA^2+\displaystyle\binom{n}{2}A^2 \) porque ya no es un binomio de Newton...
Muchas gracias!!

[Fernando Revilla]

Sea A una matriz  y B=A+I, entonces utilizando el binomio de Newton tengo que \( B^n=(I+A)^n=I^n+nI^{n-1}A+\displaystyle\binom{n}{2}I^{n-1}A^2 \) ,

No es así, salvo que \( A \) sea nilpotente de orden \( 3 \) (hecho que no mencionas). ¿Podrías transcribir exactamente el enunciado?

[carlaa]

Dada la matriz \( A \) por filas sería

\( \begin{pmatrix}{0}&{0}&{0}&{0}\\{2}&{0}&{0}&{0}\\{2}&{2}&{0}&{0}\\{2}&{2}&{0}&{0}\end{pmatrix} \)

Calcular:

a)\( A^n \)
b) Siendo B=A+I expresar \( B^n \) en función de I,A y \( A^2 \)
c)Demostrar que \( B^{-1}=I-A+ A^2 \)
d) Expresar \( B^{-n} \) en función de I,A y \( A^2 \)

estaría en el apartado d.
Muchas gracias!!

[Fernando Revilla]

Puedes expresar \( B^{-n}=(\;I+(A^2-A)\;)^n. \) Como \( A^2-A \) conmuta con \( I \) y es nilpotente de orden \( 3, \) aplica de nuevo el binomio de Newton.

[carlaa]

ok!!
Muchas gracias!!!
Saludos