[Ialgra]

Hola a todos.
Voy a proponeros un problema de oposiciones que no llego a resolver. El enunciado es el siguiente:

Calcular el área de \( [z(x-2)+3y]^2 +4(x+1)(x-2)=0  \) (no da más información sobre el parámetro "z")

Ese es todo el enunciado. Sé que es una cónica, que si me piden su área debe ser una elipse. Intento hallar la ecuación reducida de la cónica, pero el parámetro "z" es muy puñetero, pues cuando intento hallar los valores propios de la aplicación ortogonal que queda cuando la expresas en forma matricial e intentas diagonalizarla, pues los valores propios dependen de "z" y se complica mucho el asunto.
He podido ver la solución numérica del problema (no el proceso) y pone que es una elipse de la forma \(  \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1  \) tal que \( a\cdot{b}= \displaystyle\frac{1}{6}  \)y por tanto el área es \( \displaystyle\frac{pi}{6} \) , luego el parámetro "z" debe desaparecer y no sé como hacerlo.
Gracias a todos de antemano y un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 En primer lugar si ese es el enunciado sin nigún punto ni coma más y con esas letras, yo no interpretaría que \( z \) es un parámetro, sino que se trata de la ecuación implícita de una superficie en el espacio.

 Entonces sería bueno que aclarases este punto.

 Ahora si te empeñas en tratarla como una cónica, en en cuenta dos cosas:

 1) Podemos simplifcar la ecuación con una traslación \( x-2\rightarrow{}x \), que no modifica las dimensiones de la elipse. Queda:

\(  (zx+3y)^2+4x(x-3)=0 \)

 2) Es fácil ver que el área de una elipse en términos de su matriz asociada \( A \) y de términos cuadráticos \( T \) viene dada por:

\(  sup=\dfrac{-\pi|A|}{|T|^{3/2}} \)

 En tu caso:

\(  A=\begin{pmatrix}{z^2+4}&{3z}&{6}\\{3z}&{9}&{0}\\{6}&{0}&{0}\end{pmatrix} \)

\(  T=\begin{pmatrix}{z^2+4}&{3z}\\{3z}&{9}\end{pmatrix} \)

 donde \( |A|=-36\cdot 9,\quad |T|=36 \). Así:

\(  superficie=\dfrac{36\cdot 9\pi}{6^3}=\dfrac{3\pi}{2} \)

 Si no me equivocado en las cuentas tampoco sále lo que dices.

Saludos.

P.D. Gráficamente el Geogebra da el mismo área que me sale a mi:

[Ialgra]

Hola. Muchas gracias por la respuesta. z es un parámetro seguro porque en el enunciado en realidad es una lambda, pero no sabia como ponerla con el latex y he usado la z sin pensar que podía inducir a error al interpretarse como la tercera coordenada de los puntos en el espacio.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola. Muchas gracias por la respuesta. z es un parámetro seguro porque en el enunciado en realidad es una lambda, pero no sabia como ponerla con el latex y he usado la z sin pensar que podía inducir a error al interpretarse como la tercera coordenada de los puntos en el espacio.

Ah; para poner lambda simplemente \lambda:

\( [\lambda(x-2)+3y]^2 +4(x+1)(x-2)=0  \)

[tex][\lambda(x-2)+3y]^2 +4(x+1)(x-2)=0 [/tex]

Saludos.