[leandro17]

hallar los extremos que se especifican suponiendo a  X,Y positivos
Minimizar: \( f(x,y)=x^2-y^2  \)
Ligadura: \( x-2y+6=0  \)

[escarabajo]

Hola.

No aparece la variable z en ninguna ecuación. La ligadura no está igualada a nada. ¿Podes corregir eso?

Saludos.

[leandro17]

Si gracias modificado

[escarabajo]

Ok. Hay dos maneras de resolverlo:

1) Usando la teoria de Lagrange. ¿La conocés?

2) Simplemente despeja una de las variables de la ecuación de ligadura, sustituila en la función y hallá los extremos de una función de una única variable.

Saludos.

[leandro17]

Me gustaría saber las soluciones si no es de gran molestia, ayer estuve estudiando el método de lagrange y tengo conocimiento pero al ver este problema con ligadura no supe plantear la solución y en internet no conseguí problemas parecidos.

[escarabajo]

Lagrange dice que los puntos críticos en este caso cumplen

\( \nabla f=\lambda \nabla g \)

Es decir, los gradientes evaluados en esos puntos son paralelos.

\( f(x,y)=x^2-y^2 \Rightarrow \nabla f=(2x,-2y) \)

\( g(x,y)=x-2y+6 \Rightarrow \nabla g=(1,-2) \)

Entonces:

\( (2x,-2y)=\lambda(1,-2) \)

\( 2x=\lambda \)
\( -2y=-2\lambda=-2(2x)=-4x \Rightarrow y=2x \)

Estos puntos cumplen la condición de Lagrange, ...resta ver cuales cumplen la ligadura:

\( x-2y+6=0=x-4x+6=0 \Rightarrow x=2 \Rightarrow y=4 \)

El punto buscado es (2,4)

Saludos.

[leandro17]

Muchas gracias