[Masba]

Ayuda:

Supongamos que \( A= \left\{{ a_{m,n}|m= 1,2,3,... y \; n= 1,2,3,... }\right\} \) es un conjunto acotado y  que \( a_{m,n}\geq a_{p,q} \) siempre que \( m\geq{p} \) y \( n\geq{q} \). Pruébese que:
\( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}a_{m,n}{} = sup A \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Tal como está el enunciado no es cierto.

 Supongo que querías poner:

\(  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}a_{\color{red}n\color{black},n}=supA \)

 Considera \( b_n=a_{n,n} \); por hipótesis es acotada y creciente por tanto existe \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}b_n=L. \)

 Tienes que probar que \( L \) es el supremo de \( A \):

 1) Comprueba que \( L \) es cota superior de \( A \).

 2) Comprueba que dado \( \epsilon>0 \) existe un \( a_{n,m}\in A \) tal que \( L-\epsilon<a_{n,n}\leq L. \) Para ello aplica la definición de límite a la sucesión \( b_n \).

Saludos.

[Masba]

Es correcta tu corrección.

Lo estoy intentando.