[Masba]

Espero su ayuda con esto:

a) sea \( x\geq{0} \) un número real tal que para cualquier \( \epsilon > 0, x \leq{\epsilon} \). Pruébese que \( x=0 \).

b) Sea \( S= [0,1] \). Pruébese que para cualquier \( \epsilon>0 \) existe un \( x \in S \) tal que \( x< \epsilon \).

[Luis Fuentes]

Hola

 En principio:
 
 a) Si \( x>0 \) entonces toma \( \epsilon=x/2 \). ¿Que ocurriría?.

 b) \( x=0 \).

 Ahora son resultados muy inmediatos; no estoy seguro si quizá tienes que probarlos utilizando de manera muy explícita los axiomas que caracterizan a los reales (y no todas las propiedades que de ellos se derivan).

Saludos.

[Masba]

A que te refieres con el b) ??

[Luis Fuentes]

Hola
 
 Me refiero a que \( 0\in [0,1] \) y además \( 0<\epsilon \) para cualquier \( \epsilon>0 \).

 Pero me pregunto si has copiado bien el enunciado, porque tal como está me parece demasiado simplón.

Saludos.

[Masba]

Estoy viendo que dice: \( \sup=]0,1[ \), ¿eso tiene algún significado?

[Luis Fuentes]

Hola

Estoy viendo que dice: \( sup=]0,1[ \), eso tiene algun significado?

Es que no sé el contexto de esa expresión. Dice eso, ¿dónde y referido a qué?.

Saludos.

[Masba]

Copie el ejercicio tal cual. Viene de una serie de ejercicios del capítulo La recta real y el espacio euclideo.

[Luis Fuentes]

Hola

Copie el ejercicio tal cual. Viene de una serie de ejercicios del capítulo La recta real y el espacio euclideo.

¿Pero qué ejercicio? ¿De qué me estás hablando?. Sólo has puesto que dice:

 \( sup=]0,1[ \)  (*)

 ¿Eso es el enunciado?¿Esos nueve caracteres?.

 No sé si se suponge que es una correción de alguno de los enunciados que pusiste al principio del hilo. En todo caso y para evitar confusiones pon el enunciado completo. Si sólo es (*) sin nada más ni nada menos, para mi no tiene sentido.

Saludos.

[Masba]

El enunciado dice:
\( sup=]0,1[ \). Pruébese que para cualquier \( \epsilon>0 \) existe un \( x \in S \) tal que \( x< \epsilon \) .

[Luis Fuentes]

Hola

El enunciado dice:
\( sup=]0,1[ \). Pruébese que para cualquier \( \epsilon>0 \) existe un \( x \in S \) tal que \( x< \epsilon \) .

mmm...así tal como lo has puesto para mi no tiene demasiado sentido. Otra cosa es que pusiese \( S=]0,1[ \) (es decir el intervalo abierto \( (0,1) \)).

En ese caso el resultado es cierto sin más que tomar \( x=min(\epsilon/2,1/2) \).

Saludos.