Hola tengo el siguiente ejercicio y quisiera saber si lo e resuelto de la manera correcta:
Sean \( (X,A, \mu_X) \) y \( (Y, B, \mu_Y) \) dos espacios de medida, con
\( X = Y = \mathbb{R} \), \( \mu_X(A)=\displaystyle\int_{A}^{}f(x)dx \), \( \mu_Y(A)=\displaystyle\int_{B}^{}g(x)dx \)
Donde,
\( f(x)=\begin{Bmatrix} 3e^{-5x} & \mbox{ si }& x\in{[0,\infty)}\\0 & \mbox{si}& x\not\in{[0,\infty)}\end{matrix} \) y \( g(x)=\begin{Bmatrix} \displaystyle\frac{1}{10} & \mbox{ si }& x\in{[0,10]}\\0 & \mbox{si}& x\not\in{[0,10]}\end{matrix} \)
En el espacio \( X \times{Y} \) , hallar la medida del rectángulo \( [0,3]\times{[0,2]} \).
Hice lo siguiente:
Por ser \( [0,3]\times{[0,2]} \) un rectángulo,
\( \mu_{X\times{Y}}([0,3]\times{[0,2]})=\mu_X([0,3])\cdot{\mu_Y([0,2])}=\displaystyle\int_{0}^{3}3e^{-5x}dx\cdot{\displaystyle\int_{0}^{2}}\displaystyle\frac{1}{10}dx= \)
\( =(4-3e^{-15})\displaystyle\frac{1}{5} \)
