[max]

Hola necesito ayuda con el siguiente ejercicio:

Demuestre que \( L^{\infty}(\mu) \) esta contenido en \( L^1(\mu) \) si y solo si \( \mu(X)< \infty \).
Tambien demuestre que si \( f \in L^1(\mu) \) y \( \mu(X)=1 \), entonces \( \displaystyle\lim_{p\rightarrow{\infty}}\| f \|_p=\| f \|_{\infty} \).

Saludos.

[numbsoul]

Si toda función esencialmente acotada es integrable,en particular lo son las funciones constantes.La recíproca es clara.En cuanto a la otra parte del ejercicio,prueba que el límite superior de la sucesión es menor o igual a la norma infinito,probando que cada término es menor o igual a ella y tomando límite.En cuanto al límite inferior,dado \( 0<M<\|f\|_{\infty} \),se tiene por definición que existe un conjunto de medida positiva \( A \) en donde \( |f|>M \)  y entonces \( \|f\|_{p}\geq (\int_{A}|f|^{p})^{1/p} \) ... (prosigue)