[mantad]

Hola un saludo muy especial a todos.

Desearia que me colaboren con el siguiente ejercicio ya que tengo parcial el miercoles y me causo curiosidad como hacer los ejercicios que abordare a continuacion y hasta ahora no los he podido hacer

• A es codenso en X si y solo si cada subconjunto abierto no vacio de X contiene puntos de \( A^c \)
• A es denso en ninguna parte en X si y solo si cada subconjunto abierto no vacio de X contiene un conjunto abierto no vacio disjunto de A

Gracias por lo aportes que puedan realizar.

[Luis Fuentes]

Hola

 Para el primero, ¿qué definición de codenso te han dado?.

 Para el segundo, un conjunto es denso en ninguna parte si el interior de su clausura es vacío.
 
 - Supongamos que \( A \) es denso en ninguna parte en \( X \) y sea \( U \) abierto no vacío. Supongamos que todo abierto contenido en \( U \) corta a \( A \), entonces \( Clausura_U(U\cap A)=U \). Entonces \( U=Clausura_U(U\cap A)\subset \bar A\cap U \) y por tanto \( U\subset \bar A \). Pero entonces \( U\subset int(\bar A) \) y por tanto \( A \) no sería denso en ninguna parte.

 - Recíprocamente supongamos que cada abierto no vacío de \( X \) contiene un conjunto abierto no vacío disjunto de \( A \). Si \( A \) no es denso en ninguna parte existe \( U \) abierto no vacío contenido en \( \bar A \). Pero entonces todo abierto de \( U \) corta a \( A \): contradicción.

Saludos.