[numbsoul]

Si \( f_{n}\longrightarrow f \) en \( L^{p} \),con \( 1\leq p<\infty \) y \( g_{n}\longrightarrow g\;a.e \) y \( \|g_{n}\|_{\infty}\leq M\;\forall n \),probar que \( f_{n}g_{n}\longrightarrow fg \) en \( L^{p} \).

En primer lugar,observemos que \( f_{n}g_{n}\;,fg\;,f_{n}g\;,g_{n}f \) pertenecen a \( L^{p} \) para todo \( n\in\mathbb{N} \).

Ahora \( \|f_{n}g_{n}-fg\|_{p}\leq \|f_{n}g_{n}-fg_{n}\|_{p}+\|fg_{n}-fg\|_{p} \).

El primer sumando tiende a cero.
Para el segundo sumando,tenemos \( \|fg_{n}-fg\|_{p}^{p}=\displaystyle\int |f|^{p}|g_{n}-g|^{p}\;d\mu \).

¿Cómo aseguro que eso converge a cero?,¿Falta alguna hipótesis?

[numbsoul]

Creo haberlo resuelto 

Spoiler

Como esa integral es finita,dado \( \varepsilon>0 \),existe un conjunto de medida finita \( A_{\varepsilon} \) tal que \( \displaystyle\int_{A_{\varepsilon}^{c}}|f|^{p}|g_{n}-g|^{p}\;,d\mu<\varepsilon \)

Así,\( \displaystyle\int |f|^{p}|g_{n}-g|^{p}\;d\mu=\displaystyle\int_{A_{\varepsilon}}|f|^{p}|g_{n}-g|^{p}\;d\mu+\displaystyle\int_{A_{\varepsilon}^{c}}|f|^{p}|g_{n}-g|^{p}\;d\mu \).

En la primera integral,puedo usar el teorema de convergencia casi uniforme para \( (g_{n}) \),puesto que \( A_{\varepsilon} \) tiene medida finita,y luego la absoluta continuidad de funciones integrables.

[cerrar]

Olvidé usar el teorema de convergencia dominada