[maam1992]

Buenas a todos.
Practicando para un examen de Estadística, me he encontrado dos demostraciones que no soy capaz de entender y que me gustaría que quién pudiera me ayudara:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{} (xi-\mu_x )^2*Pr[X=xi]=\displaystyle\sum_{i=1}^n{} [xi^2]*Pr[X=xi]-\mu_x^2 \)

La otra es:
\( E[(x-E[x])^2]=E[x^2]-(E[x])^2) \)

Muchas gracias de antemano.

[HernanV]

Escribiéndolo un poco más prolijo es \( \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \mu_{x} )^2 \cdot \mathbb{P}(X=x_{i}) = \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \cdot \mathbb{P}(X = x_{i}) - \mu_{x}^{2} \).

Para esta sólo tenes que entender que \( \displaystyle \mu_{x} = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \cdot \mathbb{P}(X = x_{i}) \), y desarrollar el término \( \displaystyle (x_{i} - \mu_{x} )^2 \).

Para la otra es considerar que \( \displaystyle \text{var}(X) = \mathbb{E}\left[ x - \mathbb{E}(X)\right]^{2} = \mathbb{E}\left[ x^{2} - 2x\mathbb{E}(X) + \mathbb{E}^{2}(X)\right] = \cdots \).

Continua.

[maam1992]

Gracias por tu ayuda.
Tengo un problema con la primera demostración, pues soy capaz de llegar al desarrollo de \( (x_i-\mu_x)^2 \), pero en el momento de introducir el concepto de \( \mu_x \) me pierdo y no se donde introducirlo.
Gracias de nuevo por resolver mis dudas.

[HernanV]

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \mu_{x} )^2 \cdot \mathbb{P}(X=x_{i}) = \sum_{i=1}^{n} (x_{i}^{2} - 2x_{i}\mu_{x} + \mu_{x}^{2}) \cdot \mathbb{P}(X=x_{i}) \), y eso es igual que \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \cdot \mathbb{P}(X=x_{i}) - 2\mu_{x}\underbrace{\sum_{i=1}^{n} x_{i}\cdot \mathbb{P}(X=x_{i})}_{= \mu_{x}} + \mu_{x}^{2} \underbrace{\sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(X=x_{i})}_{=1} \).

Es claro además, que la expresión se refiere a la varianza, ¿no?. Fijate que la última expresión es igual a \( \displaystyle \mathbb{E}(X^{2}) - \mathbb{E}^{2}(X) \).

[maam1992]

Muchisimas gracias, lo que no comprendia es porque puedes sacar el \( \mu_x fuera \) de los sumatorios.

[HernanV]

Porque es un número fijo, fijate que no tiene subíndice .