La desigualdad de Jensen dice que si tienes una función \( f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R} \) convexa, \( c_1,\dots, c_n\in [a,b] \) y \( \lambda_1,\dots, \lambda_n\geq 0 \) tales que \( \sum_i \lambda_i=1 \), entonces:
\( f(\lambda_1c_1+\lambda_2c_2+\dots+\lambda_nc_n)\leq \lambda_1f(c_1)+\lambda_2f(c_2)+\dots+\lambda_nf(c_n) \)
Toma:
\( f(x)=x^2 \). Esta función es convexa porque \( f''(x)=2>0 \).
\( \displaystyle \lambda_i=\frac{1}{n},\ \forall i=1,\dots, n \). Nota que \( \sum_{i=1}^n\frac{1}{n}=1 \).
\( \displaystyle c_i=y_i=|x_i-\bar{x}|,\ \forall i=1,\dots, n \).
Saludos
