Tengo un problema en donde no sé que hago para llegar a un momento donde me queda una probabilidad negativa (!)
Dice:
Un ingeniero químico está interesado en determinar si los vestigios de cierta impureza están presentes en un producto. Un experimento tiene una probabilidad de 0,8 de detectar la impureza y probabilidad de 0,9 de no detectarla si está ausente. Las probabilidades de que una impureza esté presente y ausente son 0,4 y 0,6 respectivamente.
Tres experimentos separados resultan en sólo dos detecciones ¿Cuál es la probabilidad posterior de que la impureza esté presente?
Sean entonces:
\(
D = \{\textsf{el experimento detecta la impureza }\}
I = \{\textsf{impureza presente}\}
P(D' / I') = 0,9
P(D)=0,8
P(I) = 0,4
P(I') = 0,6
\)
Queremos averiguar las probabilidades \( P(I / D) \) y \( P(I / D') \)
A partir de Bayes,
\( P(I/D)=\displaystyle\frac{P(D/I)P(I)}{P(D)} \)
Para obtener \( P(D/I)P(I) \) utilizamos la Ley del Probabilidad total:
\( (i) P(D)=P(D/I)P(I) + P(D/I')P(I')
\)
La probabilidad \( P(D/I')P(I') \) la obtenemos si vemos en un diagrama en arbol que las dos ramas que parten de \( P(I')=0,6 \) son \( P(D/I') \) y \( P(D'/I') \). Como \( P(D'/I') = 0,9 \) entonces \( P(D/I') = 0,1 \) y \( P(D/I')P(I')=0,6\cdot{0,1}=0,06 \)
Entonces de (i)
\(
0,8 = P(D/I)P(I)+ 0,06
P(D/I)P(I) = 0,74
\)
y
\(
P(I/D)=0,74/0,8= 0,925
\)
Hasta acá parece todo OK, pero...
Ahora quiero saber la probabilidad posterior de que la impureza esté presente si no se detectó.
\(
P(I/D') = \displaystyle\frac{P(D' / I)P(I)}{P(D')} \)
Procediendo análogamente, se puede utilizar la Ley probabilidad total con P(I):
\(
P(I) = P(I/D)P(D)+P(I/D')P(D')
0,4 = 0,925 +P(I/D')P(D')
\)
Mal, porque la probabilidad me dá negativa!
Ayudaaaaaaaaaaa!
Saludos a la banda....
