Hola
Denota \( A,B,C \) los ángulos del triángulo de partida y \( a,b,c \) sus lados.
Haz un dibujo. Observa que los lados iguales de cada triángulo isósceles sobre los lados a,b,c miden respectivamente \( \dfrac{a}{\sqrt{3}},\dfrac{b}{\sqrt{3}},\dfrac{b}{\sqrt{3}} \).
Ahora por el teorema del coseno el segmento que une los vértices de los triángulos isósceles sobre los lados \( c \) y \( d \) tiene longitud \( L_a \) cumpliendo
\( L_a^2=\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{3}-\dfrac{2bc}{3}cos(300-A) \)
de donde:
\( L_a^2=\dfrac{1}{3}(b^2+c^2-2bccos(60+A))=\dfrac{1}{3}(b^2+c^2-bccos(A)-\sqrt{3}bcsin(A)) \) (*)
Ahora tenemos en cuenta que si llamamos \( S \) al área del triángulo inicial:
\( bcsin(A)=2S \)
y por el teorema del coseno:
\( bccos(A)=\dfrac{1}{2}(b^2+^c^2-a^2) \)
Susituyendo en (*) queda:
\( L_a^2=\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)-2\sqrt{3}S) \)
Esta expresión no debende de haber elegido los isósceles sobre los lados \( b \) y \( c \) y por tanto concluimos que:
\( L_a=L_b=L_c \)
Saludos.
P.D. La solución no es demasiado elegante. Sería bueno encontar una alternativa más sintética.
