[Hernan_ER]

El problema dice:

Un semáforo se ha descompuesto prendiendo aleatoriamente sus tres luces de colores. Siempre hay un único color prendido, cuando este color se apaga, se prende otro (diferente) cualquiera. AL encender el semáforo se prende la luz verde, y antes de apagarse se producen 1000 cambios. ¿Cuantas secuencias de colores diferentes pueden ocurrir si el ultimo color que se encendió fue el verde?

La solución dice:

Sea \(  \displaystyle {{a}_{n}} \) el número de secuencias que comienzan y termina con verde despues de n cambios.

Observar que vale la relación de recurrencia: \(  \displaystyle {{a}_{n}}=2{{a}_{n-2}}+{{a}_{n-1}} \).

Pero no logro darme cuenta por qué es así.

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Dada una secuencia que comienza y termina en verde en \( n \) cambios hay dos posibilidades:

 - Que en el cambio \( n-2 \) estuviese en verde. Entonces hay dos formas en dos cambios de volver al verde: \( VRV \) ó \( VAV \). Es decir hay \( 2a_{n-2} \) de tales secuencias.

 - Que en el cambio \( n-2 \) no estuviese en verde. Pero un tal secuencia se obtiene tomando una cualquiera de \( n-1 \) saltos con comienzo y final en verde y añadiendo un cambio antes del último. Pero hay una única posibilidad de intercalar ese color ya que está comprendido entre dos colores diferentes. Hay \( a_{n-1} \) de tales secuecnias.

 Por ejemplo si \( n=4 \) la cadena \( VARAV \) se obtiene de \( VARV \) añadiendo el \( A \) en la penúltima posición.

Saludos.