[Quema]

Hola,

Si tengo una v.a. \( Y \) con media cero y varianza uno. Probar que: \( E[Y^4]>1+E^2[Y^3] \). En realidad, se pide un poco más, si todas las v.a. \( Y_i \) tienen media cero y varianza unitaria, entonces probar que:

\( E(y_1^2+y_2^2+...+y_n^2)^2>n^2+\displaystyle\frac{E^2((y_1+y_2+...+y_n)(y_1^2+y_2^2+...+y_n^2))}{n} \)

No se puede probar por inducción?

Saludos

[Quema]

Hola

Se me ocurrió lo siguiente. Defino \( S=y_1^2+y_2^2+...+y_n^2 \) y \( Z=y_1+y_2+...+y_n \). La desigualdad a probar se expresa como:

\( E(S^2)>n^2+\displaystyle\frac{E^2[SZ]}{n} \).

Ahora, \( V(S)=E(S^2)-E^2(S)=E(S^2)-n^2 \) (si las \( Y_i \) fueran independientes), y \( Cov(S,Z)=E[SZ] \).

Ahora no se cumple que \( V(S)V(Z)>Cov^2(S,Z) \), entonces \( V(S)>\displaystyle\frac{Cov^2(S,Z)}{V(Z)}=\displaystyle\frac{E^2[SZ]}{V(Z)} \).

Si las \( Y_i \) fueran independientes entonces esa igualdad sería inmediata, pues \( V(Z)=n \). El tema es si fueran dependientes.

Saludos