Se dice que un conjunto de variables aleatorias \( \displaystyle X_{1},\cdots,X_{n} \) están
idénticamente distribuídas cuando
todas las variables tienen una
misma función de distribución (el nombre lo sugiere de hecho).
Cuando te dicen que \( \displaystyle X_{i} \sim \text{N}(0,1), \; 1\le i \le n \), te dicen que todas las variables tienen como función de densidad de probabilidad a \( \displaystyle \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \exp\left(-\frac{x^{2}}{2}\right), \; x \in \mathbb{R} \).
La relación \( \displaystyle Y = \left(X_{1} + X_{2} + X_{3}\right)^{2} + \left(X_{4} + X_{5} + X_{6}\right)^{2} \) es un
cambio de variable y, según lo que te piden, debes hallar una constante \( \displaystyle c \in \mathbb{R} \) que verifique \( \displaystyle cY \sim \chi^{2} \) (fijate que no te dieron los grados de libertad).
El ejercicio 4 es más sencillo. Sabes que, dadas \( \displaystyle Z \sim \text{N}(0,1) \) y \( \displaystyle V \sim \chi^{2}_{n} \), la variable \( \displaystyle T = \frac{Z}{\sqrt{\frac{V}{n}}} \) tiene distribución \( \displaystyle t_{n-1} \). Entonces, en tu caso, si te fijas que las VA son iid, es \( \displaystyle Z = X_{1} + X_{2} \sim \text{N}(0, \sqrt{2}) \) y \( \displaystyle V = X_{3}^{2} + X_{4}^{2} + X_{5}^{2} \sim \chi^{2}_{3} \). Por ende, para que \( \displaystyle Y = \frac{cZ}{\sqrt{\frac{V}{3}}} \) tenga distribución \( \displaystyle t_{2} \), la variable del numerador debe tener distribución normal estándar, lo que se logra mediante el cambio \( \displaystyle \frac{Z - \mu_{Z}}{\sigma_{Z}} = \frac{Z - 0}{\sqrt{2}} \), lo que lleva a \( \displaystyle c = \sqrt{2} \).
Trata de pensar el otro ejercicio. Saludos
.
