[nikocumbia]

Tengo que plantear el \( a_n \) en lo que seria la solución general.

La letra dice:

Se pretende diseñar una bandera con n franjas horizontales, cada una de las cuales puede ser de color rojo, azul, verde o amarillo. Halle la cantidad de banderas posibles en cada uno de las siguientes situaciones.

3)Dos franjas adyacentes nunca pueden ser del mismo color, como tampoco pueden serlo la primera y la última franja.

Lo que yo pense fue que si

n=1 Hay 4 posibilidades (1 franja de cada color)
n=2 Hay 12 posibilidades (4 colores en la primera y 3 en la segunda, ya que no pueden ser el mismo color)
n=3 Hay 24 posibilidades (En la primera franja seguimos con 4 posibilidades, en la segunda, no puede ser igual a la primera por ende hay 3 posibilidades, y en la ultima no puede ser igual ni a la anterior ni a la primera).
n=4 Hay 72 posibilidades
n=5 Hay 216 posibilidades

La solución del sistema es \( a_n=2(a_{n-1})+3(a_{n-2}) \)

Según lo plantee esta correcto mi razonamiento, pero no se como darme cuenta de hallar esa recursion. Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 No entiendo. ¿Te obligan a plantear una relación de recurrencia?.

 No me parece muy natural. Razonando como dice se obtiene directamente que:

 \( a_n=4\cdot 2\cdot 3^{n-2} \) para \( n\geq 3 \)

 Sea como sea la relación \( a_n=2a_{n-1}+3a_{n-2} \) puede razonarse asi:

 Para \( n\geq 5 \) podemos construir una bandera de \( n \) franjas:

 - Tomando una de \( n-1 \) franjas en las mismas condiciones y añadiendo una última franja de colores distintos al primero y al último: \( 2\cdot a_{n-1}. \)

 - El problema es que así no aparecen banderas donde la penúltima y primera franja sean del mismo color. Pero éstas pueden formar tomando una bandera de \( n-2 \) franjas, copiando en la \( n-1 \) el color de la primera y añadiendo una última franja de color distinto a este: \( 3\cdot a_{n-2}. \)

Saludos.