Hola
Intuyo, por cómo está planteado el problema, que el tiempo ha de considerarse una variable discreta. Si el tiempo fuera continuo, el modelo matemático que mejor se ajustaría sería una ecuación diferencial y no una relación de recurrencia. Restringir el tiempo a valores enteros es algo completamente válido. Por ejemplo, si el tiempo \( t \) se midiera en segundos, dispondríamos del número de habitantes segundo a segundo.
Llamemos \( p_t \) a la población en el instante \( t\geq 0 \). La población inicial será para nosotros \( p_0 \) y es un entero positivo fijo. Ahora dado \( t>0 \) la letra nos dice que el cambio de población es directamente proporcional a la población en dicho instante. Esto significa que:
\( \begin{equation}p_t-p_{t-1}=c\cdot p_t\end{equation} \)
Nota que si \( c=1 \) entonces \( p_{t-1}=0 \) y si \( c>1 \), se cumpliría \( p_t<0 \) lo cual sería absurdo porque el número de habitantes de una población nunca puede ser un número negativo. Por lo tanto, \( c<1 \). Ahora a partir de la ecuación \( (1) \) intenta deducir una fórmula general para \( p_t \).
