[Hernan_ER]

Quisiera saber la explicación de por qué se debe multiplicar la solución particular por n cuando ésta es un múltiplo de la homogénea.

Por ejemplo acá:

\(  \displaystyle {{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=2{{n}^{2}}-5n \)

Tenemos que

\(  \displaystyle {{a}_{n}}^{\left( h \right)}=c \)

Pero luego, si tomo:

\(  \displaystyle {{a}_{n}}^{\left( p \right)}=A{{n}^{2}}+Bn+C \)

esta solución tiene un sumando que es múltiplo de la solución particular (el C). Por lo tanto no es solución. ¿Pero por qué debo multiplicar por n la solución particular? ¿Cuál es la explicación?

Gracias

[Fernando Revilla]

No veo claro lo que preguntas. Por si te sirve, en el caso de la ecuación que planteas \(  \displaystyle {{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=2{{n}^{2}}-5n \) la ecuación característica es \( \lambda-1=0 \) con lo cual la solución general de la homogénea es \( a_n=C_1 \) (constante).

Si el término de la derecha es un polinomio \( P_k(n) \) de grado \( k, \) entonces por un conocido teorema una solución particular de la ecuación completa es de la forma \( a_n=n^r\widetilde{P}_k(n) \) en donde \( \widetilde{P}_k \) es un polinomio con coeficientes indeterminados y de grado \( k, \) y \( r \) el orden de multiplicidad de \( 1 \) en la ecuación característica.

Es decir, en nuestro caso una solución particular sería de la forma \( a_n=n(An^2+Bn+C) \)

[Hernan_ER]

Claro, o sea, en el libro de Grimaldi muestra una tabla con soluciones particulares para cada f(n) y dice que si algún sumando de la solución particular (mostrada en la tabla) que en este caso sería a priori  \(  \displaystyle {{a}_{n}}^{\left( p \right)}=A{{n}^{2}}+Bn+C \) es múltiplo de la solución homogénea entonces hay que multiplicarla por n hasta que ningun sumando sea múltiplo. Pero eso se cumple en otros casos tambien, no solo en el ejemplo que puse. ¿Cómo es ese teorema? ¿Tenés algun link o algo? Porque en el libro no está.

Otra pregunta, ¿las soluciones de las relaciones de recurrencia son únicas? http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,60734.0.html

Gracias Fernando.