Necesito ayuda para comprender el siguiente ejercicio de contraste de hipótesis:
Obtenga el test uniformemente más potente para contrastar \( H_0 : \theta \leq 3 \) frente a \( H_0 : \theta > 3 \) con \( n=5 \alpha=0.1 \) donde \( f(x;\theta)=\frac{\theta}{(x+1)^(\theta+1)} \).
He obtenido el estimador de máxima verosimilitud, porque se me pedía antes, y he llegado a hacer una transformación de manera que \( g(y;\theta)\sim exp(\theta) \).
Ahora, la función de verosimilitud para una muestra de tamaño n es:
\( g(y_1,...,y_n;\theta)=\theta^n e^(-\theta\sum_{i=1}^n{y_i}) \) (no se poner bien el exponente)
Ahora se supone, no se muy bien porqué, que \( \theta_2 > \theta_1 \).
Entonces se hace el cociente de verosimilitudes:
\( \frac{g(y_1,...,y_n;\theta_2)}{g(y_1,...,y_n;\theta_1)} = (\frac{\theta_2}{\theta_1})^n e^(-(\theta_2 - \theta_1)\sum_{i=1}^n{y_i}) \)
Ahora como \( \theta_2 > \theta_1 \) se dice que la función anterior es decreciente en \( t = \sum_{i=1}^n{y_i} \) lo cual es correcto, y de ahí directamente se deduce, no se por qué, que el test UMP será:
\( \varphi(y_1,...,y_n)=\begin{Bmatrix} 1 & \mbox{ si }& \sum_{i=1}^n{y_i}<t\\0 & \mbox{si}& \sum_{i=1}^n{y_i}>t\end{matrix} \)
donde \( P_\theta_=_3(\sum_{i=1}^n{y_i}<t)= \alpha \).
Para el caso particular, sabemos que como \( \sum_{i=1}^5{y_i} \sim Gama(\theta,5) \) entonces \( 2\theta\sum_{i=1}^5{y_i} \sim \chi^2_1_0 \) (esto si lo tengo demostrado).
Ahora dice que \( P_\theta_=_3(\chi^2_1_0<t)= 0.1 \) implica que \( t=4.865 \). De esta parte si entiendo como se busca ese dato en la tabla, lo que no entiendo es como pasa a considerar de pronto esa probabilidad. Luego el test queda:
\( \varphi(y_1,...,y_5)=\begin{Bmatrix} 1 & \mbox{ si }& 6\sum_{i=1}^n{y_i}<4.865\\0 & \mbox{si}& 6\sum_{i=1}^n{y_i}>4.865\end{matrix} \),
Aquí lo que no entiendo de esta parte es por qué parece ya que necesariamente \( \theta=3 \). Comprendo las sustituciones y que se rechace en el caso en que el test dé 1.
Postdata: aparte del problema, si alguien tiene apuntes en condiciones de este tipo de problemas, lo agradecería.
