[Hernan_ER]

Hola. Estoy resolviendo una relación de recurrencia usando funciones generadoras que me parece más extendido y completo a que andar buscando soluciones debajo de la manga.

La relación es:

\(  \displaystyle {{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=2n+3 \)

La función generadora de dicha sucesión an es:

\(  \displaystyle f\left( x \right)=\frac{2x}{{{\left( 1-x \right)}^{3}}}+\frac{3x}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}} \)


He hecho el desarrollo de esta función con un programa y coincide con la sucesión. Ahora, lo que sé es:

\(  \displaystyle f\left( x \right)=\frac{2x}{{{\left( 1-x \right)}^{3}}}+\underbrace{\frac{3x}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}}_{3n}+\underbrace{\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}}_{n+1} \)

Pero, ¿cómo saco el término general de la sucesión generada por el primer término? A vista no lo puedo sacar... y usando fracciones parciales me queda:

\(  \displaystyle \frac{2x}{{{\left( 1-x \right)}^{3}}}=\frac{2}{{{\left( 1-x \right)}^{3}}}-\underbrace{\frac{2}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}}_{2(n+1)} \)

Pero nuevamente me aparece un término del cual no conozco la sucesión.

Gracias

[pierrot]

¿Qué es eso que pones debajo de las llaves? 

[Gustavo]

Nota que \( \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{x}{(1-x)^2} \right)=\dfrac{1}{(1-x)^2}+\dfrac{2x}{(1-x)^3}. \)

[Hernan_ER]

¿Qué es eso que pones debajo de las llaves? 

Son las sucesiones generadas por esos términos.

Nota que \( \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{x}{(1-x)^2} \right)=\dfrac{1}{(1-x)^2}+\dfrac{2x}{(1-x)^3}. \)

Si, es verdad. Igual, creo que nunca me iba a dar cuenta de eso. De todas maneras anoté mal la fórmula. La funcion f(x) es:


\(  \displaystyle f\left( x \right)=\frac{2x^{2}}{{{\left( 1-x \right)}^{3}}}+\frac{3x}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}} \)

Y juntando los 3 sumandos queda:

\(  \displaystyle f\left( x \right)=\frac{1+x}{{{\left( 1-x \right)}^{3}}} \)

Cuya sucesión generada es \(  \displaystyle {{\left( n+1 \right)}^{2}} \).

Gracias!