[Hernan_ER]

Hola. Me piden resolver el numero de soluciones de la siguiente ecuación:

\(  \displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=19 \)

con \(  \displaystyle 0\le {{x}_{i}}\le 8 \).

En un principio lo resolví mediante el principio de inclusión-exclusión pero ahora me piden hacerlo usando funciones generatrices.

Entonces la función generatriz es:

\(  \displaystyle {{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+{{x}^{4}}+{{x}^{5}}+{{x}^{6}}+{{x}^{7}}+{{x}^{8}} \right)}^{4}}={{\left( \frac{1-{{x}^{9}}}{1-x} \right)}^{4}} \)

Pero ahora ¿cómo hago para saber el coeficiente de \( x^{19} \)? Tendría que analizar todas las formas de obtener dicho término pero sería muy tedioso hacerlo en este caso. Lo otro seria calcular (por el desarrollo de Taylor):

\(  \displaystyle \frac{\frac{{{d}^{19}}}{d{{x}^{19}}}{{\left( \frac{1-{{x}^{9}}}{1-x} \right)}^{4}}}{19!} \)

algo que si me lo pongo a hacer no termino más.

¡Gracias!

[teeteto]

Tendría que analizar todas las formas de obtener dicho término pero sería muy tedioso hacerlo en este caso.

No es tan largo si lo piensas despacio.

[Hernan_ER]

Y en el caso que hubiera tenido muchos mas términos y tuviera que determinar el coeficiente de \( x^{500} \) ¿hay alguna forma fácil de calcularlo?

Gracias

[Hernan_ER]

¿Hay forma?

[pierrot]

¿Hay forma?

\( \begin{align*}\displaystyle \left(\frac{1-x^9}{1-x}\right)^4=(1-x^9)^4\frac{1}{(1-x)^4}&=\left(\sum_{i=0}^\infty\binom{4}{i}(-x^9)^i\right)\cdot\left(\sum_{i=0}^\infty\binom{4+i-1}{i}x^i\right)\\&=\left[\binom{4}{0}x^0-\binom{4}{1}x^9+\binom{4}{2}x^{18}-\cdots\right]\left[\binom{3}{0}x^0+\binom{4}{1}x^1+\cdots+\binom{13}{10}x^{10}+\cdots+\binom{22}{19}x^{19}+\cdots\right]\end{align} \)

Spoiler

Claramente el coeficiente de \( x^{19} \) es \( \binom{4}{0}\binom{22}{19}-\binom{4}{1}\binom{13}{10}+\binom{4}{2}\binom{4}{1} \).

[cerrar]

[Hernan_ER]

Si, lo pude hacer de esa forma, pero digo, en casos de que el desarrollo fuera inmenso y me pidieran el coeficiente de un término de orden grande hay alguna mecánica que sea útil? ¿Fracciones parciales conviene?

[pierrot]

Si, lo pude hacer de esa forma,

Ah, disculpa. Creí que no habías podido, ya que sugerías cosas extrañas en tu primer post... Además decías que era "muy tedioso" cuando en realidad podías llegar al resultado muy rápidamente.

[Hernan_ER]

Si, al principi pensé que era mucho lo que tenía que hacer pero luego teeteo me dijo que lo viera mejor (como vos lo mostraste) solo hay que hacer 3 cuentas locas.

Es un método muy bueno alternativo a el principio de inclusión-exclusión (resolví el mismo ejercicio por ese método) pero el tema está en obtener el coeficiente, por eso preguntaba si había alguna "fórmula" o método fijo para calcular coeficientes en casos mas grandes.

Gracias

[pierrot]

Es un método muy bueno alternativo a el principio de inclusión-exclusión (resolví el mismo ejercicio por ese método) pero el tema está en obtener el coeficiente, por eso preguntaba si había alguna "fórmula" o método fijo para calcular coeficientes en casos mas grandes.

Claro. Y la respuesta es que no, o sea, deberás estudiar cada caso en particular.