[Héctor Manuel]

Hola.

Hace unas horas participé en otro post mencionando la Ley de Benford. Para quienes no la conocen, pueden buscarla en la red y seguro la encuentran. No es muy complicada de entender.

Mi duda surge por lo siguiente: Según esta ley, si tomamos datos numéricos arrojados por un fenómeno de la vida real, entonces más o menos la tercera parte de esos datos comenzará con el 1, el 17.6% de los datos comenzará con el dígito 2, etc...

Es claro que aquí interviene fuertemente el uso de un sistema decimal. La primer pregunta es entonces ¿Sigue siendo válida si tomamos cualquier base en el sistema?

En caso de que la respuesta sea afirmativa, y tomando base 12, ¿Podemos concluir que enero es el mes en que más gente nace, y luego febrero, y luego marzo, etc?
En esta segunda cuestión siento que la respuesta es negativa: no se puede concluir a partir de la ley de Benford, ya que estamos haciendo una biyección un tanto artificial entre el conjunto \( \{1,2,3,\cdots,9,A,B,C\} \) (omito el cero, pues no participa en esta ley) y el conjunto \( \{\mbox{enero, febrero,...,diciembre}\} \). Como dicha biyección no es única, entonces cualquier permutación en el conjunto de meses puede ser tomada y conservaría el mismo derecho a participar en la ley de Benford que tuvo la primer biyección.

Espero opiniones.

Saludos.

[argentinator]

Pero es que si cambiás la base, te cambian todos los números.
Y entonces tendrías distintos valores de "nacimientos" en enero, dependiendo de qué base hayas tomado.

Eso no es, pues, una manera válida de estimar algo.

[Héctor Manuel]

Por supuesto. Es más o menos la misma idea que doy sobre la segunda cuestión. Pero en cuanto a la primera, ¿crees que por cada base haya una Ley de Benford?

Saludos.

[argentinator]

La Ley de Benford es empírica, y se aplica como modelo a situaciones específicas.
En dichas situaciones la base utilizada es siempre DIEZ.

O sea que tu pregunta no tendría sentido.

Pero aún así, es claro que lo tiene, porque no es difícil imaginar qué pasaría si se usaran otras bases.
Yo creo que sí se cumpliría Benford, porque depende en cierto modo de la distribución exponencial.

Está bien explicado informalmente en Wikipedia por qué se da la Ley de Benford.
Los números más grandes se dan con poca frecuencia, ya que una lista numerada de objetos siempre empieza por 1, y termina "donde puede".
En cualquier lista numerada de objetos, el 1 siempre estará por ejemplo.
Mientras que números como el 89942341 son infrecuentes.

Esta apreciación no depende de la base dada.

[Carlos Ivorra]

Leí ayer sobre la ley de Benford en la Wikipedia (nunca había oído hablar de ella) y no he vuelto a mirarla ahora, pero, si no recuerdo mal lo que leí ayer, esto que dice argentinator es clave:

Está bien explicado informalmente en Wikipedia por qué se da la Ley de Benford.
Los números más grandes se dan con poca frecuencia, ya que una lista numerada de objetos siempre empieza por 1, y termina "donde puede".
En cualquier lista numerada de objetos, el 1 siempre estará por ejemplo.
Mientras que números como el 89942341 son infrecuentes.

y creo que en la wikipedia decía que por ello no es aplicable a series aleatorias que varían en un intervalo acotado, por lo que no sería aplicable al mes de nacimiento.

[feriva]

Yo no sé, porque no conozco eso en profundidad, pero intuyo que en eso de la base estaríamos ante una mera conversión de símbolos y de mecánica operativa.
 Yo puedo decir que este símbolo, 7, es el número \( 123_{10} \), puesto que existirá un símbolo "s" para esa conversión tal que el símbolo de la unidad se pueda escribir, por ejemplo, como \( \dfrac{1}{s} \); donde, lógicamente, el símbolo 1 corresponderá a otro número que no es la unidad. Sería muy incómodo operar así -e incluso quizá tendríamos que inventar alguna cosa "nueva" para poder operar- debido a la neutralidad e idempotencia de la unidad:

Claro, para ese símbolo de la unidad tendríamos que hacer \( \dfrac{1}{s} \cdot \dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{s} \), con lo que surge -al operar "correctamente"- que  \( \dfrac{1}{s} \cdot \dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{s^2} \), entonces tendría que ser

 \( s=s^2 \)

 y nos encontramos que, con nuestra forma de operar y de entender las estructuras algebraicas, da lugar a un absurdo porque surgen dos unidades idempotentes. Pero creo que ese absurdo no afecta a la esencia de la verdadera matemática, intuyo que es una cuestión de origen simbólico o quizá más bien de la "arbitrariedad" de nuestra mecánica operativa.

Saludos. 

[argentinator]

Es que un cambio de base acá tiene otro sentido, porque se refiere a una muestra de datos, cuyos números están expresados en "otra base".
Al hacer esto, las probabilidades cambian.
No me preguntes bien cómo, porque no hice las cuentas. 

[feriva]

Es que un cambio de base acá tiene otro sentido, porque se refiere a una muestra de datos, cuyos números están expresados en "otra base".
Al hacer esto, las probabilidades cambian.
No me preguntes bien cómo, porque no hice las cuentas. 

Ah, perdón, ya he mirado el enunciado de la ley ésta; antes no lo había hecho. Por lo visto dice que el 1 aparece con más frecuencia que el resto de los dígitos y el investigador se fijó para deducirlo en lo gastados que estaban los libros de consulta de las tablas de logaritmos.
 O sea, en un sistema numérico de diez símbolos, en base diez, el que más aparece es el símbolo que representa a la unidad; podrían ser diez símbolos cuales se quieran elegir, imagino, y el resultado sería el mismo, sería más frecuente el símbolo que representara a la unidad; por ejemplo, podríamos hacer:

 0 es 0
 9 es 1
 8 es 2
 ...

 Con estos símbolos podríamos operar igual 9+9=8,  9·9=9, puesto que son “símbolos números” individuales que no afectan a los “símbolos operación”. En cambio, en el ejemplo que puse antes, al elegir el símbolo de la unidad como \( \dfrac{1}{s} \), en principio he actuado correctamente, porque en principio valen los símbolos que sean, ahora bien, después tendría que construir un sistema de “símbolos operaciones” coherente con esos “símbolos números”, y no lo he hecho,

porque si el “símbolo operación” \( \dfrac{un\,\,simbolo}{otro\, \,simbolo} \) implica que si el símbolo sobre la raya

representa a un número equivalente al asociado al símbolo bajo la raya, entonces 

 \( \dfrac{un\,simbolo}{otro \,simbolo} \) es el símbolo de la unidad o un símbolo que representa al símbolo de la unidad, 

no he  elegido un sistema de símbolos bien construido para ese “símbolo operación”, ya que, tal como lo había pensado, el símbolo “1” y el “s” no podían representar números equivalentes.

Sin embargo, en el intercambio de dígitos que he puesto ahí, no hay ningún problema de incoherencia con los símbolos operación; sólo que, por costumbre, nos haremos un lío si intentamos operar con ellos. Y, además, sigue siendo base diez.

 Por tanto, entiendo que no es el “1” exactamente, sino el símbolo de la unidad, el símbolo del primero en valor, el que sale con más frecuencia; al menos cuando se utiliza base diez (y seguramente será así siempre que se utilicen bases con pocos símbolos; porque con infinitos símbolos, la probabilidad de que saliera el símbolo de la unidad supongo que tendería a cero).

 Saludos.