[slogrado]

Hola tengo el siguiente ejercicio: Considere las funciones \( \[ f:B \to P(B) \] \) que verifican para todo x \( \[f(x) \ne \{ x\} \]  \). ¿Cuántas de dichas funciones hay?
El conjunto B tiene cardinal 3.
El conjunto P(B) corresponde al conjunto de partes de B es decir el conjunto de todos los subconjuntos de B, cuyo cardinal ya he calculado a través de combinatoria utilizando combinaciones y llegué a que es 8.
He intentado resolverlo a través del Principio de Inclusión-Exclusión considerando  3 condiciones:
C1: Aquellas funciones que verifican f(1)={1}
C2: Aquellas funciones que verifican f(2)={2}
C3: Aquellas funciones que verifican f(3)={3}
De esta manera planteo \(  \[8_{}^3  - (7_{}^2  + 7_{}^2  + 7_{}^2 ) + (6_{}^1  + 6_{}^1 +6_{}^1 ) - (1) = 382
\]
 \)
Sin embargo la solución correcta es 343 así que estoy contando demás, si alguien puede darme una mano muchas gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

 Si quieres hacerlo por inclusión-exclusión, la idea general del planteamiento es correcta. Pero tienes mal los cálculos.

 Las funciones que verifican \( f(1)=\{1\} \), son \( 8^2 \) (y no \( 7^2 \)) porque los otros dos elementos de \( B \) pueden tener cualquiera de las posibles ocho imágenes.

 Con esta idea corrige todos tus cálculos.

 Por otra parte en realidad basta que tengas en cuenta que en las funciones pedidas, la imagen de cada elemento puede ser cualquier de las ocho posibles excepto la que excluimos. Por tanto el número de funciones en tales condiciones es simplemente \( 7^3 \).

Saludos.

[slogrado]

Claro, erróneamente  yo estaba considerando las funciones que \( f(1)=\{1\} \) pero a ningún otro elemento le corresponde el 1.
Con esa modificación en mis cálculos obtengo \( \[
8_{}^3  - (8_{}^2  + 8_{}^2  + 8_{}^2 ) + (8_{}^1  + 8_{}^1  + 8_{}^1 ) - (1) = 343
\]
  \). El resultado deseado.

 Por otra parte en realidad basta que tengas en cuenta que en las funciones pedidas, la imagen de cada elemento puede ser cualquier de las ocho posibles excepto la que excluimos. Por tanto el número de funciones en tales condiciones es simplemente \( 7^3 \).

Si es cierto resulta mas fácil pensarlo de esa manera.

Muchas Gracias!