Algo de lo que tengo duda es sobre la existencia de \( f^{-1} \)
Ahora tu prueba está bien. Podrías detallar algún paso. Por ejemplo, podrías escribir \( f(x) = f(x)f(e_G) \), que lo usas implícitamente, pero queda más claro si lo escribes. Y no usas que exista \( f^{-1} \). Lo que usas es que \( f(x) \) es un elemento del grupo H, luego existe su inverso \( f(x)^{-1} \). Ahí no estás hablando de la aplicación inversa de \( f \), sino del inverso en el grupo H del elemento \( f(x) \). Como digo, si lo entiendes así, la prueba está bien.
Ahora, si te apetece, puedes pensar en simplificarla. Por ejemplo, ¿qué pasa si en vez de tomar un \( x \) cualquiera (que es correcto), empiezas escribiendo que \( e_G = e_Ge_G \)?
