[Dany]

Hola tengo definidas las siguientes operaciones en el conjunto \( \mathbb{Z}:
 \) :
\( a\wedge b=a+b+1 \) y \( a\triangleleft{b}=a+b-ab \)  '¿Es respecto a alguna de ellas un grupo? bien, he llegado q la segunda operación no define a \( \mathbb{Z} \) como grupo, pero la primera sí. Y mi pregunta es ¿cuales son los subgrupos de \( (\mathbb{Z}, \wedge) \)

Muchísimas gracias

[Fernando Revilla]

Y mi pregunta es ¿cuales son los subgrupos de \( (\mathbb{Z}, \wedge) \)

Habrás descubierto que el neutro es \( -1 \) y que el simétrico de \( a \) es \( a'=-2-a. \)

Para cada \( m\in\mathbb{Z} \) fijo,  \( H_m=-1+(m)=\{-1+\lambda m: \lambda\in\mathbb{Z}\} \) es subgrupo de \( (\mathbb{Z}, \wedge). \) En efecto, \( H_m \) es claramente no vacío y para cada par de sus elementos \( -1+\alpha m,-1+\beta m \) tenemos

\( \displaystyle\begin{aligned}
(-1+\alpha m)\wedge (-1+\beta m)'&=(-1+\alpha m)\wedge (-1-\beta m)\\
&=-1+\alpha m -1-\beta m+1\\
&=-1+(\alpha-\beta)m\in H_m
\end{aligned} \)

Te dejo planteado el problema recíproco: ¿Es todo subgrupo de  \( (\mathbb{Z}, \wedge) \) de la forma \( -1+(m) \)?

[Dany]

Y mi pregunta es ¿cuales son los subgrupos de \( (\mathbb{Z}, \wedge) \)

Habrás descubierto que el neutro es \( -1 \) y que el simétrico de \( a \) es \( a'=-2-a. \)

Para cada \( m\in\mathbb{Z} \) fijo,  \( H_m=-1+(m)=\{-1+\lambda m: \lambda\in\mathbb{Z}\} \) es subgrupo de \( (\mathbb{Z}, \wedge). \) En efecto, \( H_m \) es claramente no vacío y para cada par de sus elementos \( -1+\alpha m,-1+\beta m \) tenemos

\( \displaystyle\begin{aligned}
(-1+\alpha m)\wedge (-1+\beta m)'&=(-1+\alpha m)\wedge (-1-\beta m)\\
&=-1+\alpha m -1-\beta m+1\\
&=-1+(\alpha-\beta)m\in H_m
\end{aligned} \)

Te dejo planteado el problema recíproco: ¿Es todo subgrupo de  \( (\mathbb{Z}, \wedge) \) de la forma \( -1+(m) \)?

Muchas gracias

[Carlos Ivorra]

Creo que tienes una compañera de clase por aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,60056.0.html

[Dany]

Creo que tienes una compañera de clase por aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,60056.0.html

Si =)