Observa que si \( f \) es positiva y simétrica respecto de la recta \( x = a \), entonces verifica \( \displaystyle f(x) = f(2a - x) \).
Integrando miembro a miembro, queda \( \displaystyle \int_{-\infty}^{x}{f(t) \, dt} = F(x) = \int_{-\infty}^{x}{f(2a - t) \, dt} = -F(2a - x) \). O sea, la función de distribución es antisimétrica respecto de la recta \( x = a \).
Calculando la esperanza (por sustitución \( u = 2a - x \)) queda \( \displaystyle \mathbb{E}(X) = \int_{\mathbb{R}}{x \cdot f(x) \, dx} = -\int_{+\infty}^{-\infty}{(2a - u) \cdot f(u) \, du} = 2a - \mathbb{E}(U) \). Queda \( \displaystyle \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(U) = 2a \).
Ahora basta ver que \( \displaystyle X \) y \( \displaystyle U \) tienen la misma fdp. Para ello, basta notar que \( \dislpaystyle F_{U}(u) = \mathbb{P}(U \le u) = \mathbb{P}(2a-x \le u) = \mathbb{P}(x \ge 2a-u) = 1 - F_{X}(2a - u) \). Derivando en ambos miembros respecto a \( u \) queda \( \displaystyle f_{U}(u) = f_{X}(2a-u) = f_{X}(u) \).
Por ende, es \( \displaystyle \mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(U) \) y entonces \( \displaystyle 2\mathbb{E}(X) = 2a \).
Saludos
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