[Laura_mt]

Necesito que me ayuden a resolver el último apartado de este problema de estadística.

No sé como comparo los saldos acumulados de B con los de A y C entre las dos variables
aleatorias. ¿alguna pista sobre qué aplicar?
Muchas gracias por cualquier ayuda sobre cómo resolverlo.

Una entidad bancaria tiene tres sucursales en una ciudad localizadas en tres barrios diferentes A, B, C, que
poseen 10000, 20000 y 5000 clientes respectivamente. El saldo de la cuenta corriente de un cliente está
caracterizado por una variable aleatoria N(6,4) para los clientes de A, por una N(5,4) para los de B y por una
N(3,1) para los de C, con los parámetros en miles de euros. La entidad va a ofrecer un nuevo producto financiero
a los clientes cuyo saldo supere los 4000 euros. A partir de la información suministrada, se pide calcular:

a) Proporción de clientes de cada sucursal a los que la entidad bancaria ofrecerá el citado producto.

b) Proporción de clientes de la ciudad a los que la entidad bancaria ofrecerá el producto.

c) Probabilidad de que el producto sea ofrecido al menos a 23000 clientes de la ciudad. Si la campaña
de ofrecimiento consiste en llamar de forma sucesiva y por una sola vez a cada cliente, y suponiendo
que el coste de cada llamada es de 0.10 euros, ¿Cuál es el coste esperado de la campaña?

d) Suponiendo que finalmente el banco ofrece el producto a todos sus clientes y que la probabilidad de
que un cliente contrate el producto es de 0.10, expresar mediante la distribución correspondiente la
probabilidad de que sea necesario contactar con al menos 10000 clientes para realizar 1000 contratos
del nuevo producto. ¿Con cuántos se espera tener que contactar para poder alcanzar ese objetivo de
1000 contratos?

e) Calcular la probabilidad de que el saldo acumulado de las cuentas corrientes de los clientes de la
sucursal B supere el saldo acumulado de las cuentas de los clientes de A y C conjuntamente.

[numbsoul]

Sea \( X_{A,i} \) el saldo corriente de un cliente \( i \) de la sucursal de \( A \),con \( 1\leq i\leq 10000 \)
El saldo acumulado de la sucursal de \( A \) es \( Z_{A}=\displaystyle\sum_{i=1}^{10000}X_{A,i} \).

Si las variables \( X_{A,i} \) son independientes,entonces la sumatoria anterior tiene distribución \( N(60000,40000) \).

Análogamente obtenemos la distribución de \( Z_{B} \) y de \( Z_{C} \).

Queremos calcular \( P(Z_{B}\geq Z_{A},Z_{B}\geq Z_{C}) \).

Llamemos \( V=(Z_{A},Z_{B},Z_{C}) \).Conocemos la densidad de \( V \) si suponemos \( Z_{A},Z_{B},Z_{C} \) variables independientes.

La probabilidad anterior es \( P(V\in L) \),donde \( L \) es el boreliano de \( \mathbb{R}^{3} \) definido como \( L=\{(x,y,z):y\geq x,y\geq z\} \)

[Giulio II]

Hola Laura_mt. Yo el problema que propones lo entiendo de un modo distinto a lo planteado por numbsoul.

Antes de nada, comentar que si tenemos \( n \) variables aleatorias independientes \( X_1,X_2,\ldots,X_n \) tales que \( X_i\rightarrow N(\mu_i,\sigma_i) \), entonces la variable suma \( X=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i \) sigue una distribución normal \( N(\mu,\sigma) \) donde:

\( \mu=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\mu_i \ \ \textrm{y} \ \ \sigma=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\ldots+\sigma_n^2} \)

En el caso en que todas las \( X_i \) estén igualmente distribuídas, por ejemplo, \( X_i\rightarrow N(\mu,\sigma), \ \forall i=1,2,\ldots,n \), entonces \( X=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i\rightarrow N(n\mu,\sigma\sqrt{n}) \)

Llamemos \( X_i^A \) al saldo de la cuenta del cliente \( i \) de la sucursal \( A \) para cada \( 1\le i\le10000 \). Análogamente definimos \( X_j^B \) y \( X_k^C \) para cada \( 1\le j\le20000 \) y \( 1\le k\le5000 \). Además, por los datos que nos dan en el problema, sabemos que \( X_i^A\rightarrow N(6,4), \ X_j^B\rightarrow N(5,4) \) y \( X_k^C\rightarrow N(3,1) \) para todos los valores de \( i,j,k \).

A partir de las variables anteriores, el saldo acumulado de los clientes de las sucursales \( A,B \) y \( C \) son, respectivamente, \( X^A,X^B \) y \( X^C \), donde:

\( X^A=\displaystyle\sum_{i=1}^{10000}X_i^A\rightarrow N(60000,400), \ \ X^B=\displaystyle\sum_{j=1}^{20000}X_j^B\rightarrow N(100000,565'685), \ \ X^C=\displaystyle\sum_{k=1}^{5000}X_k^C\rightarrow N(15000,70'71) \)

Después de todo esto, llega el modo en que planteo la probabilidad pedida en el apartado e) y que difiere, como dije al principio, de lo planteado por numbsoul. Según entiendo yo la pregunta, hay que calcular:

\( p\{X^B>X^A+X^C\}=p\{X^B-X^A-X^C>0\}=p\{X>0\} \)

donde \( X=X^B-X^A-X^C \). La distribución de \( X \) es:

\( X\rightarrow N(25000,772'163) \)

Tipificando la variable (y llamando \( Z \) a la tipificada) y utilizando las tablas de la distribución normal estándar, llegamos a que:

\( p\{X^B>X^A+X^C\}=p\{X>0\}=p\{Z>-32.377\}\approx 1 \)

[Laura_mt]

Hola Giulio II y numbsoul:

me habéis ayudado mucho con lo que me habéis explicado. Ya conseguí entender lo que se pedía.

Muchas gracias por colaborar en resolver dónde me quedé atascada.