[alejandra]

Las pilas vendidas por una casa de materiales eléctricos pueden provenir de dos fabricantes distintos, A y B. El 70% de las pilas vendidas son producidas por la fábrica A y tienen una duración  (en hs.) exponencial de parámetro a=0,01. El resto son producidas por la otra fábrica, con duración (en hs.) exponencial de parámetro b=0,02.
a) Calcular la probabilidad de que una pila vendida cualquiera dure al menos 80hs
b) Si efectivamente la pila seleccionada durara más de 80hs ¿cuál sería la probabilidad de que proviniera de la fábrica A?

\( X_i \): cantidad de pilas producidas por la fabrica i, \( i\in{A,B} \)
\( P(X_A)=0.7 \wedge  P(X_B)=0.3 \)
\( D_i \): duración de la pila i, \( i\in{A,B} \)
\( D_A\sim{exp(a=0,01)} \wedge D_B\sim{exp(a=0,02)} \)

a) \( P(B)=P(D_A \vee D_B \geq{80})=P(D_A>80)+P(D_B>80)=exp(-0.01(80))+exp(-0.02(80)) \)

b) \( P(A|B)=\displaystyle\frac{P(A\cap{B})}{P(B)} \)


Alguna mejor idea? Gracias

[HernanV]

En (a) tenes que usar la fórmula de probabilidad total. Si \( \displaystyle \mathbb{P}(A) = 0,7 \) y \( \displaystyle \mathbb{P}(B) = 0,3 \), llamamos \( \displaystyle T \) al tiempo de duración de una pila (cualquiera) vendida, llamamos \( \displaystyle X \sim \text{Ex}\left(\frac{1}{100}\right) \) y \( \displaystyle Y \sim \text{Ex}\left(\frac{1}{50}\right) \) a los tiempos de duración de cada pila, la probabilidad que te piden es \( \displaystyle \mathbb{P}(T < 80) = \mathbb{P}(T < 80 | A)\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(T < 80 | B)\mathbb{P}(B) \), que equivale a \( \displaystyle \mathbb{P}(X < 80)\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(Y < 80)\mathbb{P}(B) \).

Para (b) usa el teorema de Bayes.