[alejandra]

Probar que para una variable hipergeometrica, la probabilidad de obtener un éxito en cada extracción es la misma

Demostracion:

\( E_i \)=éxito en i-esima extracción

\( P(E_1)=\displaystyle\frac{D}{N} \)

\( P(E_2)=\displaystyle\frac{D}{N}\displaystyle\frac{D-1}{(N-1)}+\displaystyle\frac{D}{N-1}\displaystyle\frac{N-D}{(N)}=\displaystyle\frac{D}{N} \)

\( P(E_3)=\displaystyle\frac{D}{N}\displaystyle\frac{D-1}{(N-1)}\displaystyle\frac{D-2}{(N-2)}+\displaystyle\frac{D}  {N-1}\displaystyle\frac{N-D}{N}\displaystyle\frac{D-1}{(N-2)}+\displaystyle\frac{D}{N-1}\displaystyle\frac{N-D}{N}\displaystyle\frac{D-1}{(N-2)}+\displaystyle\frac{D}{N-1}\displaystyle\frac{N-D}{N}\displaystyle\frac{N-D-1}{(N-2)}=\displaystyle\frac{D}{N} \)
...
\( P(E_i)=\displaystyle\frac{D}{N} \)


Cómo podría generalizarlo para poder llegar a la conclusión hallada?

Gracias...

[numbsoul]

Consideremos el conjunto \( A=\{1,\ldots,D,D+1,\ldots,N\} \),donde \( B=\{1,\ldots,D\} \) representa a las blancas y \( \{D+1,\ldots,N\} \) a las negras.Sea \( m \) la cantidad de extracciones.

Sea el evento \( E_{i}=\{\mbox{ la i-esima bolilla es blanca }\} \) (\( 1\leq i\leq m \))

Tenemos \( P(E_{i})=\dfrac{|\{f:\{1,\ldots,m\}\longrightarrow A:\mbox{ f es inyectiva y }f(i)\in B\}|}{|\{f:\{1,\ldots,m\}\longrightarrow A:\mbox{ f es inyectiva }\}|} \),donde \( |.| \) es la notación de cardinal.