[Héctor Manuel]

Hola amigos. Tengo un problema de Probabilidad que no he podido terminar.

Supongamos que \( X,Y\in\mathcal{L}^1(\Omega,\mathfrak{F},P) \) son variables aleatorias reales, y que \( E(X|Y)=Y \) casi seguro y \( E(Y|X)=X \) casi seguro.

Demuestre que \( P(X=Y)=1 \).

Sugerencia: Considere \( E(X-Y;X>c,Y\le c)+E(X-Y;X\le c,Y\le c) \).

La notación \( E(X;A) \) significa \( E(X\mathrm{I}_A) \), donde \( \mathrm{I}_A \) es la función indicadora del evento \( A \).

No entiendo cómo usar la sugerencia. sencillo probar que la suma que sugieren es igual a \( E((X-Y)\mathrm{I}_{\{Y\le c\}}) \), pero esto no me dice mucho, además de que no puedo relacionarlo con lo que quiero probar: \( P(X=Y)=1 \).

Espero puedan ayudarme. Llevo varias horas intentándolo.

Saludos.

[Héctor Manuel]

Bien, tengo lo siguiente:

\( E(X-Y;X>c,Y\le c)+E(X-Y;X\le c,Y\le c)=E((X-Y)\mathrm{I}_{\{Y\le c\}}) \)\( =E(X\mathrm{I}_{\{Y\le c\}})-E(Y\mathrm{I}_{\{Y\le c\}})...(*) \)

Pero \( E(X|Y)=Y \), lo cual significa que \( \displaystyle\int_{A}^{}YdP=\displaystyle\int_{A}^{}XdP \) para todo \( A\in\sigma(Y) \).  En particular, para \( A=\{Y\le c\} \) se tiene esa igualdad. Pero en términos de esperanzas, eso significa que \( E(Y\mathrm{I}_{\{Y\le c\}})=E[X\mathrm{I}_{\{Y\le c\}}] \), y sustituyendo en (*) se tiene que esa suma es cero para toda \( c\in\mathbb{R} \).

¿Cómo ayuda eso en el ejercicio original?

Saludos.

[Héctor Manuel]

Veamos:

Sea \( c\in\mathbb{R} \).
Consideremos la expresión \( E[Y-X;Y>c\ge X] \).
\( \begin{eqnarray*}E[Y-X;Y>c\ge X]&=&E[(Y-X)\mathrm{I}_{\{Y>c\ge X\}}]\\&=&E[(Y-X)(\mathrm{I}_{\{Y>c\}}-\mathrm{I}_{\{X>c\}}+\mathrm{I}_{\{X>c\ge Y\}})]\\&=&E[(Y-X)\mathrm{I}_{\{Y>c\}}]-E[(Y-X)\mathrm{I}_{\{X>c\}}]+E[(Y-X)\mathrm{I}_{\{X>c\ge Y\}}]...(*)\end{eqnarray*} \)

Por una parte:
\( \begin{eqnarray*}E[(Y-X)\mathrm{I}_{\{Y>c\}}]&=&E[Y\mathrm{I}_{\{Y>c\}}]-E[X\mathrm{I}_{\{Y>c\}}]\\&=&E[Y\mathrm{I}_{\{Y>c\}}]-E\left[E[X\mathrm{I}_{\{Y>c\}}|Y]\right]\\&=&E[Y\mathrm{I}_{\{Y>c\}}]-E\left[E[X|Y];Y>c\right]\\&=&E[Y\mathrm{I}_{Y>c}]-E[Y;Y>c]\\&=&0\end{eqnarray*} \)

Análogamente \( E[(Y-X)\mathrm{I}_{\{X>c\}}]=0 \), y en (*) se tiene que \( E[Y-X;Y>c\ge X]=E[(Y-X)\mathrm{I}_{\{X>c\ge Y\}}] \)

Pero en el evento \( \{Y>c\ge X\} \) se tiene que \( Y-X>0 \), y por lo tanto \( E[Y-X;Y>c\ge X]\ge0 \), y de la misma forma, \( E[(Y-X)\mathrm{I}_{\{X>c\ge Y\}}]\le 0 \). Entonces \( E[Y-X;Y>c\ge X]=E[(Y-X)\mathrm{I}_{\{X>c\ge Y\}}]=0 \).

El hecho de que \( E[Y-X;Y>c\ge X]=0 \) significa que \( 0=\displaystyle\int_{\{Y>c\ge X\}}Y-XdP \). Como la variable \( Y-X \) es no negativa en ese evento, la igualdad anterior se da si y sólo si \( Y=X \) c.s. o \( P(Y>c\ge X)=0 \). Pero lo primero no puede ser, ya que \( Y>X \). Entonces \( P(Y>c\ge X)=0 \).

Así:
\( \begin{eqnarray*}P(Y>X)&=&P\left(\bigcup_{c\in\mathbb{Q}}\{Y>c\ge X\}\right)\\&\le&\displaystyle\sum_{r\in\mathbb{Q}}{P(Y>c\ge X)}\\&=0&\end{eqnarray*} \).

Es decir, \( X\ge Y \) c.s.
Análogamente \( Y\ge X \) c.s., de modo que \( X=Y \) c.s., que es lo que se quería probar.

Saludos.