Qué ejemplo de covarianza podrían dar tal que Cov(X,Y)=0 y además X e Y sean v.a independientes?
Creo que quisiste preguntar:
"¿Qué ejemplo de variables aleatorias X e Y podrían dar tal que Cov(X,Y)=0 y además X e Y NO sean independientes?"¿Estoy en lo cierto? Entonces:
-Si fuera como lo interpreto yo, considera una variable absolutamente continua \( X \) con densidad \( f_X \) par (es decir, \( f_X(x)=f_X(-x) \)). Ahora toma por ejemplo, \( Y=X^2 \) y verifica que \( X \) e \( Y \) tienen covarianza nula (
sug.: \( E(X)=0 \)) pese a no ser independientes. Por ejemplo, \( X\sim N(0,1) \).
-Si lo interpreto textualmente como tú lo has escrito, entonces el problema es muy fácil. La mayoría cumple lo que quieres. Por ejemplo, considera la siguiente función de densidad conjunta:
\( \displaystyle f_{XY}(x,y)=\frac{1}{96}xy\cdot \mathbf{1}_{\{(x,y)\in (0,4)\times (1,5)\}} \)
Corrobora que \( \displaystyle f_X(x)=\frac{x}{8}\cdot \mathbf{1}_{x\in (0,4)} \) y \( \displaystyle f_Y(y)=\frac{y}{12}\cdot \mathbf{1}_{y\in (1,5)} \). Como \( f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y) \), \( X \) e \( Y \) son independientes. Calcula ahora la covarianza y verás que te da cero (no hice la cuenta pero supongo que sí ha de cumplirse).
Saludos
