Sea \( (X_{n_{k}}) \) una subsucesión.
Tenemos que dado \( \varepsilon>0 \),\( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}P(|X_{n_{k}}-X|>\varepsilon)\longrightarrow 0 \)
Sea \( k_{1} \) el mínimo tal que \( P(|X_{n_{k_{1}}}-X|>\varepsilon)<1 \).
Inductivamente nos construimos una sucesión creciente de naturales \( (k_{j})_{j} \) tal que \( P(|X_{n_{k_{j}}}-X|>\varepsilon)<\dfrac{1}{j^{2}} \) para cada \( j \)
Llamemos \( Y_{j}=X_{n_{k_{j}}} \).
La suma \( \displaystyle\sum_{j=1}^{\infty}P(|Y_{j}-X|>\varepsilon) \) resulta convergente.
Por el lema de Borel-Cantelli,se tiene que \( P(lim\;sup\{|Y_{j}-X|>\varepsilon \})=0 \) y esto asegura que \( Y_{j}\longrightarrow X \) casi seguramente. (conclusión errónea)
Recíprocamente,supongamos que existe \( \varepsilon>0 \) tal que la sucesión dada por \( a_{n}=P(|X_{n}-X|>\varepsilon) \) no converge a cero.
Podemos usar la versión del teorema para espacios métricos,y concluimos que existe una subsucesión \( (a_{n_{k}}) \) tal que cualquier subsucesión \( (a_{n_{k_{j}}}) \) no tiende a cero,de manera que la subsucesión \( (X_{n_{k_{j}}}) \) (subsucesión arbitraria de \( (X_{n_{k}}) \)) no converge en probabilidad a \( X \),y por lo tanto no puede converger casi seguramente.
La primera parte de la demostración es errónea(la ida).La subsucesión a tomar(que converja casi seguramente) debe ser independiente de \( \varepsilon \).La suma debe ser convergente para todo \( \varepsilon \),o lo que es lo mismo,para todo \( \dfrac{1}{k} \) con \( k\in\mathbb{N} \).
