[mongar]

 Para los que estáis interesados en explorar otras posibles  resoluciones de la Conjetura de Fermat, deciros que las  ecuaciones que anteriormente  he propuesto  son distintas porque  hay que tener en cuenta que: \(  1 =/ 1^2  =/ 1^3  =/ ... 1^n  \).  Los dos  términos de la ecuación han de conservar el grado.

[mongar]

  No quiero intervenir en la página de mariasf,  los expertos han dado su opinión, pero no tengo por menos que decir que el planteamiento que hace de la Conjetura o Teorema como dice es falsa, Fermat planteó su Conjetura en los siguientes términos: no se puede descomponer un cubo en suma de dos cubos.., a mi parecer nada tiene que ver con \( x^n - a^n = b^n \), eso es otra cosa, independientemente de las factorizaciones posibles que propone .Deciros a los que leéis con atención y sin perjuicios mis comentarios, que como supongo ya habréis observado los recubrimientos: \( p \), están acotados, superiormente por \( x\sqrt[n ]{2} - 1 \), inferiormente por \( p = 1 \), que corresponde a una \( y \) definida por \( x^n = y^(n - 1) + y^(n - 2)(y + 1) + y^(n - 3)(y + 1)^2 + ...y(y + 1)^(n - 2) + (y + 1)^(n - 1) \), entonces \( y \) es máximo. Hemos de pensar que el descenso no puede ser infinito porque \( p \) no lo es. Saludos.

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  Bien, prosigamos. Ya hemos visto la relación existente entre \( x, p \), para que la expresión \( \displaystyle\frac{x^3 - p^3}{3p} \), sea entera.

 Ahora establecemos otras relaciones : decimos que \( \displaystyle\frac{x_1^3 - p_13}{3p_1} \) esta relcionado con \( \displaystyle\frac{x_2^3 - p_2^3}{3p_2} \) si existe \( a \) tal que \( a \displaystyle\frac{x_1^3 - p_1^3}{3p_1} \) = \( \displaystyle\frac{x_2^3 - p_2^3}{3p_2} \).

 Que \( \displaystyle\frac{x·_1^3 - p·_1^3}{3p·_1} \) esta relaciondo con \( \displaystyle\frac{x_1^3 - p_1^3}{3p_1} \) si existe \( b \) tal que
 \( b \displaystyle\frac{x·_1^3 - p·_1^3}{3p·_1} \) = \( \displaystyle\frac{x_1^3 - p_1^3}{3p_1} \).

 Que \( \displaystyle\frac{x_1^3 - p_1^3}{3p_1} \) esta relacionado con \( \displaystyle\frac{x_3^3 - p_3^3}{3p_3} \) si existe \( c \) tal que \( c\displaystyle\frac{x_1^3 - p_1^3}{3p_1} \) = \( \displaystyle\frac{x_3^3 - p_3^3}{3p_3} \).

Que \( \displaystyle\frac{x_2^3 - p_2^3}{3p_2} \) esta relecionado con \( \displaystyle\frac{x_3^3 - p_3^3}{3p_3} \) si existe \( d \) tal que \( d \displaystyle\frac{x_2^3 - p_2^3}{3p_2} \) = \( \displaystyle\frac{x_3^3 - p_3^3}{3p_3} \).

 Estas relaciones nos estructuran a la expresión \( \displaystyle\frac{x^3 - p^3}{3p} \), de tal manera que para la clase de equivalencia \( 1 + 3t \)  basta con estudiar a los números primos  de esa forma.

 Los números primos de la forma \( 2 + 3t \), no tienen solución.

Y los números de la clase de equivalencia \( 3 + 3t \) a los de la forma \( (3^q)^3 \).

 El cálculo de \( a, b, c, d \) es inmediato. Saludos.



 

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 Los que seguís con atención este desarrollo os habréis dado cuenta que cuando se propone la posible  factorización de \( p \) y \( p \) libre de cuadrados,  como argumento para rebatir mi propuesta como solución a la ecuación general : \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \) se comete un claro error.

 Las anteriores relaciones nos permiten proponer dos ecuaciones como solución a la ecuación general:

 \( q^3 = 3y^2 + 3y + 1 \)

 \( (3^t)^3 = 3(3^a)^3y^2 + 3(3^a)^6y + (3^a)^9 \).  Con \( a<t \).

  Las soluciones de ambas ecuaciones las he propuesto anteriormente en esta página. Saludos.

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  La nomenclatura que he utilizado para la ecuación : \( q^3 = 3y^2 + 3y + 1 \), puede inducir a error al considerar que la \( y \), es la misma que la de la ecuación general y no es así.

  Se podría poner como hice anteriormente: \( q^3 = 3a^2 + 3a + 1 \).

  Como ya os habréis dado cuenta estas ecuaciones nos indican que las soluciones enteras para la resolución de Fermat para exponente \( 3 \) hay que buscarlas en los múltiplos del exponente. Saludos.

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 La ecuación \( (3^t)^3 = 3(3^a)3y^2 + 3(3^a)^6y + (3^a)^9 \), se transforma en \( 3^(3(t - 3a)) = 3m^2 + 3m + 1 \), como se comprueba el primer término es múltiplo de \( 3 \) el segundo no, luego la ecuación no tiene soluciones enteras. saludos.

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 Las anteriores relaciones inducen en el segundo miembro de la ecuación :\( y (y + 1) \), otra relación en \( Z + \), definida por: \( y_2 = a^2y_1 \), lo que nos permite expresar : \(  3t( 1 + 3t + 3t^2 ) = y(y + 1) \).
 
 Observamos que \( t \), ha de ser necesariamente par, y si \(  (1 + 3t + 3t^2) \), es primo no existen soluciones enteras a la ecuación.

 Que \( t \), no admite factores puesto que  como antes argumente \( ( 1 + 3t + 3t^2 ) \) se modifica, atendiendo a los factores , con lo que  estaríamos considerando una nueva expresión. Luego las posibles soluciones enteras están vinculadas a la factorización de \( 1 + 3t + 3t^2 \).

 Observamos también que de  los factores de \( 1 + 3t + 3t^2 \), solo uno puede tener la misma forma, lo que nos permite factorizar: \( 1 + 3t + 3t^2 = (1 + 3t_1 + 3t_1^2)(1 + 3q) \). Que esta factorización siempre es posible.

 Obtenemos para \( t = \displaystyle\frac{-1 + \sqrt[ ]{(1 + 2t_1)^2 + 4(1 + 3t_1 + 3t_1^2)q}}{2} \), al radicando se le puede aplicar el teorema de Pitágoras, para averiguar los valores de \( q \), que hacen posible que sea un cuadrado perfecto. Continuare con el desarrollo al menos que le encontréis errores y los expongáis. Saludos.

 

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 Voy a poner un ejemplo para clarificar conceptos.

 \( 3t^2 + 3t + 1 = 7(1 + 3q) \), \( t^2 + t =2 + 7q \),  \( t = \displaystyle\frac{-1 + \sqrt[ 2]{3^2 + 28q}}{2} \)

 Aplicamos el teorema de Pitágoras a \( 3^2 \), obtenemos : \( m^2 + 6m = 28q \), \( m = -3 + \sqrt[ ]{3^2 + 28q} \).  \( m \), es el número de términos de la serie:\( 7 + 9 + 11 + 13 +.., \)

 De los valores de \( t, m \), se deduce que:\( m = 2(t - 1) \). también que existe mas de un valor de \( q \), que hacen posible la igualdad.

 Veamos si \( q = 4, m = 8, t = 5, 1 +3q = 13, 3t^2 + 3t + 1 = 7 · 13 \), entonces: \( 3·5·7·13 = y(y + 1) \)´

 Si \( q = 10, m = 14, t = 8, 1 + 3q = 31, 3t (3t^2 + 3t + 1) = 3·8·7·31 = y(y + 1) \). Saludos

[mongar]

De  \( 3t^2 + 3t + 1 = (3t_1^2 + 3t_1 + 1) (1 + 3q) \), se deduce que \( t = 2 + 6e \)  entonces: \( 3(2 + 6e)(3t_1^2 + 3t_1 + 1)(1 + 3q) =y(y + 1) \), de las posibles agrupaciones de los factores solo \(  (2 + 6e)(3t_1^2 + 3t_1 + 1) \),  \( 3(1 + 3q) \), cumple las condiciones que expusimos de pertenencia a la misma clase de equivalencia, luego \(  (2 + 6e)(3t_1^2 + 3t_1 + 1) + 1 = 3(1 +3q) \).

  Obtenemos para \( q \) el valor: \(  q = \displaystyle\frac{2(t_1(1 + 3et_1)(t_1 + 1) + e)}{3} \),  tiene soluciones enteras tomando los valores adecuados de \( t_1, e \).    \( \displaystyle\frac{t(3t_1^2 + 3t_1 + 1) +1}{3} \) ha de pertenecer a la misma clase de equivalencia que\( 1 + 3q \)

  La igualdad \( m = 2(t - 1) \), permanece invariante para los distintos valores de \( 3t^2 + 3t + 1 =  (3t_1^2 + 3t_1 + 1)(1 + 3q) \)

  Voy a poner un ejemplo para clarificar.  Supongamos \( t = 8, t_1 = 1 \), tendríamos \( 3·8·7·(1 + 3q) \), tendíamos \( \displaystyle\frac{8·7 + 1}{3} = 19 \), luego \( 3t^2 + 3t + 1 = 7·19 = 44 = 4·11 = y(y + 1) \), imposible. Saludos.
 

 
 

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  De la ecuación \( 3t(3t^2 + 3t + 1) \) = \( y (y + 1) \), se deduce que si \( 3t^2 + 3t + 1 \), es primo no hay soluciones posibles.

 Podemos descomponer en factores \( 3t^2 + 3t + 1 \), la descomposición que propongo no es única pero nos puede servir para el estudio de otras factorizaciones.

  \( 3t^2 + 3t + 1 = ( 3e^2 + 3e + 1 ) (1 + 6q ) \), con \( e < t \).

 Tendríamos: \( t (3e^2 + 3e + 1) = y \), \(  3 (1 + 6q ) = y + 1 \).

 Se presentan dos casos posibles: caso1º , \(  t = 3e^2 + 2e \),  q = \( \displaystyle\frac{3e^2 + e}{2} \)

 caso 2º: \(  t = 3e^2 + 4e + 2 \), \(  q = \displaystyle\frac{3e^2 + 5e + 2}{2} \)

  Los cálculos para la resolución de las ecuaciones propuestas son los normales. De ellos se deducen que no existen valores de  \( t, q \), que hagan posible la igualdad. Saludos