Hola de nuevo, ¿qué tal?.
Me surgió una duda resolviendo un ejercicio y quería mostrarles mi razonamiento a ver qué opinan. El enunciado dice así.
La cantidad de personas \( X \) que viajan en un avión tiene distribución \( \displaystyle \text{Bi}\sim(80;\,0,95) \). El peso \( Y \) en Kg. de cada persona tiene distribución \( \displaystyle \mathcal{U}(50;100) \). Encontrar la función de probabilidad del peso de las personas que viajan en el avión.
Si llamo \( \displaystyle Z = \sum_{i = 1}^{X}{Y_{i}} \), esta es el peso total de las personas que viajan en el avión.
Según TCL, la variable \( \displaystyle Z|{\scriptscriptstyle X=x}=\sum_{i=1}^{x}Y_{i} \) se puede aproximar con una distribución normal, o sea que es \( \displaystyle Z|{\scriptscriptstyle X=x} \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma) \).
Como \( \displaystyle \mathbb{E}\left(Z|{\scriptscriptstyle X=x}\right)=\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^{x}Y_{i}\right)=\sum_{i=1}^{x}\mathbb{E}\left(Y_{i}\right)\overset{\text{id}}{=}x\cdot\mathbb{E}\left(Y\right)=75x \) es \( \displaystyle \mu=75x \).
Análogamente, \( \displaystyle \text{var}\left(Z|{\scriptscriptstyle X=x}\right)=\text{var}\left(\sum_{i=1}^{x}Y_{i}\right)\overset{\text{indep}}{=}\sum_{i=1}^{x}\text{var}\left(Y_{i}\right)\overset{\text{id}}{=}x\cdot\text{var}\left(Y\right)=x\cdot\frac{75^{2}}{12} \) y, por ende, es \( \displaystyle \sigma=75\sqrt{\frac{x}{12}} \).
Aquí viene mi duda. Para hallar la distribución de \( Z \) que es lo que me interesa, se me ocurrió, ya que tengo una condicional y una marginal, hallar la conjunta y luego marginar.
Esto es, la función de probabilidad conjunta de \( \displaystyle \left(X,Z\right) \), digamos \( \displaystyle \mathcal{D}\left(X,Z\right) \) es \( \displaystyle \mathcal{D}\left(X,Z\right)=\mathcal{D}\left(Z|{\scriptscriptstyle X=x}\right)\cdot\mathcal{D}\left(X\right) \).
Mi duda surge por el hecho de que no se si es posible hacer esto, ya que una distribución es continua (la condicional) y la otra discreta (la de \( X \), la binomial).
Si esto fuera correcto, la función de probabilidad conjunta me quedaría algo como \( \displaystyle \frac{1}{75}\sqrt{\frac{12}{2\pi x}}\exp\left[-\frac{12\left(z-75x\right)^{2}}{75^2 \cdot x}\right]\cdot\binom{80}{x}(0,95)^{x}(0,05)^{80-x} \). De nuevo, si todo esto estuviese bien, para obtener \( \displaystyle \mathcal{D}\left(Z\right) \) tendría que sumar (no integrar) para todo \( X \), ¿verdad?.
Nuevamente, muchas gracias!.
Saludos.
