[Gaussa]

Hola.

Tengo dudas en una definición y una demostración al introducir el concepto de v.a.

a) Definición de sigma-álgebra generada por una familia.

Dada una familia \( F \) de subconjuntos de \( \Omega \), se define la sigma-álgebra generada por \( F \), \( \siga(F) \) como la menor sigma-álgebra que contiene a \( F \), que se construye a partir de la intersección de todas las sigma-álgebras que contienen a \( F \).

Y me dan el ejemplo de \( P(\Omega) \).

El concepto de sigma-álgebra lo entiendo, pero lo de "menor sigma-álgebra que contiene a \( F \)" creo que no lo tengo tan claro, y lo de la intersección tampoco.

¿Alguien podría darme algún ejemplo?

b) \( X^{-1}(B)\in{ S} \) para cada \( B\in{\beta}\mathbb{R} \)  sii \( X^{-1}((-\infty},a{}])\in{S} \)

Esta implicación \( \Rightarrow{} \)si la entiendo (es directa, tampoco hay nada que entender), pero la otra no la acabo de ver.

Lo hace con la unión, así:

Tomemos las uniones numerables de elementos de \( F \) y supongamos que \( B=\cup_{n=1}^{\infty}{(-\infty,a_n]} \)

\( X^{-1}(B)=\{w\in{\mathbb{R}:x(w)\in{\cup_{n=1}^{\infty}{(-\infty,a_n]}}}\} \)

\( X^{-1}(B)=\{w\in{ \Omega}:x(w)\in{\cup_{n=1}^{\infty}{(-\infty,a_n]}}\}=\cup_{n=1}^{\infty}\{w\in{\Omega}:x(w)\in{(-\infty,a_n)}\}=\cup_{n=1}^{\infty}^X{-1}(-\infty,a_n)\in{ S} \)

Y luego me han dicho que he de hacerlo con la intersección y el complementario.

El único paso que puedo decir que entiendo es el último 

En el primer paso supongo que considera las uniones solamente porque luego hay que hacerlo con intersecciones y complementarios.

Si pudieran explicarme los pasos de la demostración...

Saludos y muchas gracias.

[pierrot]

Hola Gaussa

a) Definición de sigma-álgebra generada por una familia.

Dada una familia \( F \) de subconjuntos de \( \Omega \), se define la sigma-álgebra generada por \( F \), \( \siga(F) \) como la menor sigma-álgebra que contiene a \( F \), que se construye a partir de la intersección de todas las sigma-álgebras que contienen a \( F \).

Y me dan el ejemplo de \( P(\Omega) \).

El concepto de sigma-álgebra lo entiendo, pero lo de "menor sigma-álgebra que contiene a \( F \)" creo que no lo tengo tan claro, y lo de la intersección tampoco.

¿Alguien podría darme algún ejemplo?

Si. Consideremos el experimento de tirar un dado. El conjunto de resultados posibles es \( \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \), que es un conjunto finito (y por lo tanto, numerable). En otros experimentos más complicados, \( \Omega \) puede ser no numerable. En este caso, el conjunto de partes de \( \Omega \) también es un conjunto finito, y es el siguiente:

\( \begin{align*}2^{\Omega}=\Big\{&\emptyset, \\ &\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\}\\ &\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{1,5\},\{1,6\},\{2,3\},\{2,4\},\{2,5\},\{2,6\},\{3,4\},\{3,5\},\{3,6\},\{4,5\},\{4,6\},\{5,6\},\\ &\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,2,5\},\{1,2,6\},\{1,3,4\},\{1,3,5\},\{1,3,6\},\{1,4,5\},\{1,4,6\},\{1,5,6\},\{2,3,4\},\{2,3,5\},\{2,3,6\},\{2,4,5\},\{2,4,6\},\{2,5,6\},\{3,4,5\},\{3,4,6\},\{3,5,6\},\{4,5,6\},\\ &\{1,2,3,4\},\{1,2,3,5\},\{1,2,3,6\},\{1,2,4,5\},\{1,2,4,6\},\{1,2,5,6\},\{1,3,4,5\},\{1,3,4,6\},\{1,3,5,6\},\{1,4,5,6\},\{2,3,4,5\},\{2,3,4,6\},\{2,3,5,6\},\{2,4,5,6\},\{3,4,5,6\},\\ &\{1,2,3,4,5\},\{1,2,3,4,6\},\{1,2,3,5,6\},\{1,2,4,5,6\},\{1,3,4,5,6\},\{2,3,4,5,6\}\\ &\{1,2,3,4,5,6\} \Big\}\end{align} \)

Ahora consideremos una familia cualquiera de subconjuntos de \( \Omega \), por ejemplo, \( F=\big\{\{1,2\},\{1,4\}\big\} \). ¿Cuál es la \( \sigma \)-álgebra engendrada por \( F \)? Nota que hay muchas \( \sigma \)-álgebras que contienen a \( F \), por ejemplo, mencionemos dos:

\( \mathcal{A}_1=2^{\Omega} \) (cualquiera sea \( \Omega \), \( 2^{\Omega} \) es \( \sigma \)-álgebra)

\( \mathcal{A}_2=\big\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{4\},\{1,2\},\{1,4\},\{2,4\},\{1,2,4\},\{3,5,6\},\{1,3,5,6\},\{2,3,5,6\},\{3,4,5,6\},\{1,2,3,5,6\},\{1,3,4,5,6\},\{2,3,4,5,6\},\{1,2,3,4,5,6\}\big\} \)

De todas las \( \sigma \)-álgebras posibles que contienen a \( F \), habrá una que es la "menor" de todas en el sentido de que sus elementos son comunes a todas las sigma-álgebras que contienen a \( F \). En este ejemplo, \( (F)=\mathcal{A}_2 \). Nota que cualquier otra \( \sigma \)-álgebra \( \mathcal{M}\supset F \) debe cumplir \( \mathcal{M}\supseteq (F) \).

b) \( X^{-1}(B)\in{ S} \) para cada \( B\in{\beta}\mathbb{R} \)  sii \( X^{-1}((-\infty},a{}])\in{S} \)

Acá no entiendo bien la notación. Imagino que \( X \) debe denotar alguna variable aleatoria. ¿\( S \) qué es? ¿Una \( \sigma \)-álgebra? Además cuando dice \( X^{-1}\big((-\infty,a]\big)\in S \) supongo que se refiere a cualquier \( a\in \mathbb{R} \) y no a una constante en particular. \( B \) debe ser un boreliano. Pero sería bueno que aclararas estos detalles.

Saludos

[Gaussa]

Hola PabloN.

¡Muchas gracias! El primero ya lo entendí

b) \( X^{-1}(B)\in{ S} \) para cada \( B\in{\beta}\mathbb{R} \)  sii \( X^{-1}((-\infty},a{}])\in{S} \)

Acá no entiendo bien la notación. Imagino que \( X \) debe denotar alguna variable aleatoria. ¿\( S \) qué es? ¿Una \( \sigma \)-álgebra? Además cuando dice \( X^{-1}\big((-\infty,a]\big)\in S \) supongo que se refiere a cualquier \( a\in \mathbb{R} \) y no a una constante en particular. \( B \) debe ser un boreliano. Pero sería bueno que aclararas estos detalles.

Saludos

Sí, \( X \) es una variable aleatoria, \( S \) es el espacio de sucesos, \( B \) es un boreliano y \( a\in \mathbb{R} \).

Saludos

[pierrot]

Hola Gaussa

Disculpa que hoy me conecté de mañana y no pude contestar. Es que hoy es el día de la madre y estuve medio complicado  .

Sí, \( X \) es una variable aleatoria, \( S \) es el espacio de sucesos, \( B \) es un boreliano y \( a\in \mathbb{R} \).

Ok, ahora sí. El teorema entonces puede enunciarse de la siguiente manera:

Sea \( (\Omega,S,P) \) una medida de probabilidad y \( X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \) una función (a priori, no sabemos si es variable aleatoria). Luego, se cumple que \( X^{-1}(B)\in S \) para cada boreliano \( B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \) (esto es, \( X \) es variable aleatoria) si y sólo si \( X^{-1}\big((-\infty,a]\big)\in S \) para todo \( a\in \mathbb{R} \).

Demostración:

Para el directo \( (\Longrightarrow) \), como por hipótesis sabemos que la preimagen de cualquier boreliano está en \( S \), para probar que \( X^{-1}\big((-\infty,a]\big) \) está en \( S \), alcanza con ver que los intervalos de la forma \( (-\infty,a] \) con \( a\in \mathbb{R} \) son borelianos. La prueba de ésto depende de cómo te hayan definido la \( \sigma \)-álgebra de Borel. Si la definieron como \( \mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma\big(\{(-\infty,a]\subset \mathbb{R}:a\in \mathbb{R}\}\big) \) no hay nada que hacer. Es directa, como tú dices, ya que en general, el generador de una \( \sigma \)-álgebra está incluido en la \( \sigma \)-álgebra que genera.

Para el recíproco \( (\Longleftarrow) \), definamos \( \mathcal{A}=\{A\subset \mathbb{R}:X^{-1}(A)\in S\} \). Nota que si \( I_1=\{(-\infty,a]\subset \mathbb{R}:a\in \mathbb{R}\} \) por hipótesis sabemos que \( I_1\subset \mathcal{A} \). Si \( \mathcal{A} \) fuera \( \sigma \)-álgebra, como \( \mathcal{B}(\mathbb{R}) \) es la menor \( \sigma \)-álgebra que contiene a \( I_1 \) y \( \mathcal{A} \) es una \( \sigma \)-álgebra que contiene a \( I_1 \), ha de cumplirse \( \mathcal{B}(\mathbb{R})\subset \mathcal{A} \) que es lo que queremos. Por lo tanto, basta verificar que \( \mathcal{A} \) es \( \sigma \)-álgebra. Inténtalo y cualquier duda, pregunta.

Saludos

[pierrot]

Inténtalo y cualquier duda, pregunta.

Lo escribo aquí en spoiler, por si no me puedo conectar estos días.

Spoiler

Para probar que \( \mathcal{A} \) es \( \sigma \)-álgebra tenemos que chequear tres cosas:

1) \( \mathbb{R}\in \mathcal{A} \). Es obvio, pues \( X^{-1}(\mathbb{R})=\Omega\in S \).

2) Si \( A\in \mathcal{A} \) entonces \( A^C\in \mathcal{A} \). Veamos. Como \( A\in \mathcal{A} \) entonces \( X^{-1}(A)\in S \). Tenemos que ver que \( X^{-1}(A^C)\in S \). Pero \( X^{-1}(A^C)=\{\omega\in\Omega: X(\omega)\in A^C\} \) y además:

\( {\Omega=\{\omega\in\Omega: X(\omega)\in A\}\cup \{\omega\in\Omega: X(\omega)\in A^C\}\Rightarrow X^{-1}(A^C)=\{\omega\in\Omega: X(\omega)\in A^C\}=\Omega-\{\omega\in\Omega: X(\omega)\in A\}=\{\omega\in\Omega: X(\omega)\in A\}^C=\big(X^{-1}(A)\big)^C} \)

Como por hipótesis \( X^{-1}(A)\in S \), por ser \( S \) una \( \sigma \)-álgebra, se tiene que \( \big(X^{-1}(A)\big)^C}=X^{-1}(A^C)\in S \) y por lo tanto, \( A^C\in \mathcal{A} \).

3) Debe ser parecido al caso 2). Lo que hay que probar es que si \( \{A_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathcal{A} \), entonces \( \bigcup_{n=1}^{+\infty}A_n\in \mathcal{A} \), que es lo mismo que decir que \( X^{-1}\Big(\bigcup_{n=1}^{+\infty}A_n\Big)\in S \) (por definición de \( \mathcal{A} \)).

[cerrar]

[Gaussa]

Hola PabloN.

Ya lo tengo claro, muchísimas gracias.

Perdón por tardar tanto en contestar, he tenido hoy un examen de Cálculo y estos dos días he estado repasándolo, y hasta que no lo he hecho no he podido mirar la demostración de Probabilidad con detenimiento.

Saludos.