[cristianmanuel.carrasco]

Téngase dos variedades afines L y L' tales que L = P + W y L' = P' + W'
Demuéstrese que: \( L<<L' \Rightarrow L\subseteq{L'} \vee L\cap{L'} = \emptyset \)

Yo he comenzado mi demostración así:

Por hipótesis L<<L' entonces por definición \(  W\subseteq{W'} \) (eso es lo que significa que sea débilmente paralela)

Téngase \( X\in{L}\Rightarrow\vec{PX}\in{W} \)
Si \( \vec{P'P}\in{W'} \) entonces \( L\subseteq{L'} \)

Vale, ¿pero cómo demuestro el otro caso, donde \( L\cap{L'} = \emptyset \)?


Gracias por adelantado y un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Téngase \( X\in{L}\Rightarrow\vec{PX}\in{W} \)
Si \( \vec{P'P}\in{W'} \) entonces \( L\subseteq{L'} \)

No está claro lo que concluyes exactamente de ahí. Añades la hipótesis de que \( \vec{PP'}\in W' \) pero no aclaras que papel juega en todo esto.

Vale, ¿pero cómo demuestro el otro caso, donde \( L\cap{L'} = \emptyset \)?

Lo que tienes que hacer es probar que se da una cosa o la otra:

1) Si \( L\cap{L'} = \emptyset \) no tienes nada que probar: la propiedad se cumple.
2) Si \( L\cap{L'} \neq  \emptyset \) tienes que probar que \( L\subset L' \). Pero entonces existe \( Q\in L\cap {L'} \).

Dado \( X\in L \) tienes:

\( \vec{P'X}=\vec{P'Q}+\vec{QP}+\vec{PX} \)

Concluye.

Saludos.

[cristianmanuel.carrasco]

Hola

Téngase \( X\in{L}\Rightarrow\vec{PX}\in{W} \)
Si \( \vec{P'P}\in{W'} \) entonces \( L\subseteq{L'} \)

No está claro lo que concluyes exactamente de ahí. Añades la hipótesis de que \( \vec{PP'}\in W' \) pero no aclaras que papel juega en todo esto.

Hola. Lo siento, quise ser breve y me pasé. Primero definamos el siguiente lema:

Dada una variedad afín L = P + W, se cumple que:

\( X\in{L}\Longleftrightarrow{\vec{PX}\in{W}} \)

DEMOSTRACIÓN A LA DERECHA

\( X\in{L}\Rightarrow{X = P+\vec{w}} \) con \( \vec{w}\in{W} \) entonces \( \vec{PX} = \vec{P(P+\vec{w})}\Rightarrow\vec{PX} = \vec{PP}+\vec{w} \)
Y como \( \vec{PP} = 0 \) entonces\( \vec{PX} = \vec{w} \) luego \( \vec{PX}\in{W} \), como se quería demostrar.

DEMOSTRACIÓN A LA IZQUIERDA

\( \vec{PX}\in{W}\Rightarrow\vec{PX}=\vec{w} \) con \( \vec{w}\in{W} \) luego \( P +\vec{PX} = P + \vec{w} \) entonces \( X =P + \vec{w} \)
Concluyendo entonces que \( X\in{L} \)


Proposición

Dadas dos variedades afines L = P + W y L' = P' + W', se cumple que:

\( L\subseteq{L'} \Longleftrightarrow{W\subseteq{W'}}\wedge\vec{P'P\in{W'}} \)

DEMOSTRACIÓN DE \( \Rightarrow{} \)

\( L\subseteq{L'} \) por hipótesis, luego se cumple que si \( X\in{L}\Rightarrow{X\in{L'}} \)

Téngase dicho \( X\in{L} \) entonces \( \vec{PX}\in{W} \)
Y como \( X\in{L} \) entonces \( X\in{L'} \) luego \( \vec{P'X}\in{W'} \)
Y además \( P\in{L}\Rightarrow{}P\in{L'}\Rightarrow\vec{P'P}\in{W'} \)

\( \vec{P'X}\in{W'}\wedge\vec{P'P}\in{W'}\Rightarrow\vec{XP'}+\vec{P'P}\in{W'}\Rightarrow\vec{XP}\in{W'}\Rightarrow\vec{PX}\in{W'} \) concluyendo que efectivamente \( W\subseteq{W'} \)

Y queda demostrado que \( W\subseteq{W'}\wedge\vec{PP'}\in{W'} \)

DEMOSTRACIÓN DE \( \Leftarrow \)

\( W\subseteq{W'} \wedge \vec{PP'}\in{W'} \) por hipótesis

\( X\in{L}\Rightarrow\vec{PX}\in{W}\Rightarrow\vec{PX}\in{W'} \)
Como \( \vec{PP'}\in{W'}\Rightarrow\vec{P'P}\in{W'} \)

\( \vec{PX}\in{W'}\wedge\vec{P'P}\in{W'}\Rightarrow\vec{P'P}+\vec{PX}\in{W'}\Rightarrow\vec{P'X}\in{W'}\Rightarrow{X\in{L'}} \)
Luego \( L\subseteq{L'} \), como se quería demostrar.

Y demostrados estos lemas se tiene L<<L' con L = P + W y L' = P' + W'

Como L<<L' entonces \( W\subseteq{W'} \)
Por tanto ahora, si \( \vec{P'P}\in{W'} \), se cumple que \( W\subseteq{W'} \wedge \vec{PP'}\in{W'} \) luego \( L\subseteq{L'} \)

Eso era lo que quería expresar en un principio, pero me acorté demasiado.
¿Igualmente podrías explicármelo de otra manera? No entiendo exáctamente lo que haces si \( L\cap{L'}\neq{\emptyset} \)

Gracias por responder y un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Y demostrados estos lemas se tiene L<<L' con L = P + W y L' = P' + W'

Como L<<L' entonces \( W\subseteq{W'} \)
Por tanto ahora, si \( \vec{P'P}\in{W'} \), se cumple que \( W\subseteq{W'} \wedge \vec{PP'}\in{W'} \) luego \( L\subseteq{L'} \)

Eso era lo que quería expresar en un principio, pero me acorté demasiado.

En realidad no hacía falta todo lo que has probado, aunque se agradece el ejemplo. Mi crítica sigue estando en pie. Dices: si \( \vec{P'P}\in{W'} \),  entonces \( L\subseteq{L'} \). Correcto.

Pero y si \( \vec{P'P}\not\in{W'} \), ¿cómo continuas? Deberías de deducir que entonces \( L\cap L'=\emptyset \).
 

¿Igualmente podrías explicármelo de otra manera? No entiendo exáctamente lo que haces si \( L\cap{L}\neq{\emptyset} \)

Si se intersecan hay un punto \( Q \) en común. Se cumple que para \( X\in L \):

\( \vec{P'X}=\vec{P'Q}+\vec{QP}+\vec{PX} \)  (1)

ahora fíjate que:

 \( P'Q\in W' \) porque \( P',Q\in L' \).

 \( QP\in W\subset W' \) porque \( Q,P\in L \).

 \( PX\in W\subset W' \) porque \( X,P\in L \).

Deducimos de (1) que \( \vec{P'X}\in W' \) y por tanto \( X\in L' \).

Saludos.

[cristianmanuel.carrasco]

Hola. ¡Ahora sí he entendido tu demostración  !
Claro que te basas en que ya se sabe que siendo una variedad afín L con dirección W se cumple que \( W = {\vec{QR}_{Q,R\in{L}} \) Aunque bueno si nos ponemos así habría hasta que demostrar la regla de Chasles.

Supongo que ya pasaste por esa etapa pero es que en la carrera a mí me han dicho que debo ser verboso y extenderme lo posible en las demostraciones, pero no sé aún hasta qué punto tengo que demostrar proposiciones anteriores para demostrar algo nuevo.

Gracias de nuevo y un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola. ¡Ahora sí he entendido tu demostración  !
Claro que te basas en que ya se sabe que siendo una variedad afín L con dirección W se cumple que \( W = {\vec{QR}_{Q,R\in{L}} \) Aunque bueno si nos ponemos así habría hasta que demostrar la regla de Chasles.

Supongo que ya pasaste por esa etapa pero es que en la carrera a mí me han dicho que debo ser verboso y extenderme lo posible en las demostraciones, pero no sé aún hasta qué punto tengo que demostrar proposiciones anteriores para demostrar algo nuevo.

Usualmente, cuando estudia una materia de matemáticas académicamente, le van introduciendo los concepto, definiciones y teoremas relacionados ordenadamente. Cuando nos piden un ejercicio referente a ellos, normalmente uno puede usar todo lo que hasta ese momento ha visto en el desarrollo teórico.

Cuando preguntáis aquí ejercicios, los que intentan ayudar no saben exactamente que resultados habéis visto. Entonces es difícil marcar el nivel de detalle que deben de tener las pruebas sin esa información.

Sea como sea, y volviendo al ejercicio, aun queda un cabo suelto en tu demostración (el que ya te indiqué). ¿Lo ves? ¿Lo has completado?.

Saludos.

[cristianmanuel.carrasco]

Sea como sea, y volviendo al ejercicio, aun queda un cabo suelto en tu demostración (el que ya te indiqué). ¿Lo ves? ¿Lo has completado?.

Saludos.

Algo me dice que la demostración no es válida pero vamos allá.

Supongamos el caso que queda, donde \( \vec{P'P}\not\in{W'}\Rightarrow{\vec{P'P}\not\in{W}} \) ya que por hipótesis L<<L' luego \( W\subseteq{W'} \)
\( X\in{L}\Rightarrow{\vec{PX}\in{W}}\Rightarrow{\vec{PX}\in{W'}} \)
Pero como \( \vec{P'X} = \vec{P'P}+\vec{PX} \) y \( \vec{PX}\in{W'}  \) pero \( \vec{P'P}\not\in{W'} \) entonces \( \vec{P'X}\not\in{W'} \)
Concluyendo así que \( X\not\in{L'} \)

Análogamente, si se tiene \( X\in{L'} \) entonces \( \vec{P'X}\in{W'} \). Teniéndose \( \vec{PX} = \vec{PP'}+\vec{P'X} \) se concluye que \( \vec{PX}\not\in{W} \) ya que \( \vec{PP'}\not\in{W} \) luego \( X\not\in{L} \).

Luego queda demostrado que \( L^C = L' \) por lo tanto \( L\cap{L'} = \emptyset \)

Agradecería mucho si me validas esta demostración, ya que no tengo muy claro si eso de sumar los vectores y que la suma no acabe en W' no me acaba de convencer, no se si es un paso válido.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Supongamos el caso que queda, donde \( \vec{P'P}\not\in{W'}\Rightarrow{\vec{P'P}\not\in{W}} \) ya que por hipótesis L<<L' luego \( W\subseteq{W'} \)
\( X\in{L}\Rightarrow{\vec{PX}\in{W}}\Rightarrow{\vec{PX}\in{W'}} \)
Pero como \( \vec{P'X} = \vec{P'P}+\vec{PX} \) y \( \vec{PX}\in{W'}  \) pero \( \vec{P'P}\not\in{W'} \) entonces \( \vec{P'X}\not\in{W'} \)
Concluyendo así que \( X\not\in{L'} \)

Esto es correcto. Y sería suficiente que parases aquí. Has probado que:

\( X\in L\quad \Rightarrow{}\quad X\not\in \L' \)

 y por tanto \( L\cap L'=\emptyset \).

Análogamente, si se tiene \( X\in{L'} \) entonces \( \vec{P'X}\in{W'} \). Teniéndose \( \vec{PX} = \vec{PP'}+\vec{P'X} \) se concluye que \( \vec{PX}\not\in{W} \) ya que \( \vec{PP'}\not\in{W} \) luego \( X\not\in{L} \).

Esto tambiés es correcto. Pero no es necesario.

Luego queda demostrado que \( L^C = L' \) por lo tanto \( L\cap{L'} = \emptyset \)

Esto está mal. Lo que realmente has probado es: en tu primer razonamiento que \( L\subset L'^c \) y en el segundo que \( L'\subset L^c \) (ambas cosas son equivalentes y a su vez equivalentes a que \( L\cap{L'} = \emptyset \)).

Pero no has probado y de hecho en general es falso, que: \( L^C = L' \)
 
Saludos.

[cristianmanuel.carrasco]

Ok lo entiendo. Gracias una vez más.

Un saludo.