[mcf]

Hola otra vez,
Tengo otra duda de un ejercicio por resolver, a ver si alguien sabe como se hace:
Sea \( a_n \) el número de particiones de [3n] en bloques de tres elementos.
a) Hallar directamente los valores de \( a_0,a_1,a_2 \).
b)Encontrar una relación de recurrencia válida para \( n\geq{1} \).
c)Mostrar \( a_n=\displaystyle\frac{(3n)!}{(6^n)n!}/ \) siendo \( n\geq{0} \)

[Luis Fuentes]

Hola

 a) El número de particiones de un conjunto de cero elementos es una: la partición trivial \( a_0=1 \).

 Para un conjunto de tres elementos, sólo hay una forma de partir en un único bloque de tres: \( a_1=1 \).

 Para un conjunto de seis elementos las opciones son:

\(  \{123,456,\},\{124,356\},\{125,345\},\{126,345\},\{134,256\},\{135,246\},\{136,245\},\{145,236\},\{146,235\},\{156,234\} \)

 Es decir \( a_2=10 \).

 b) Si consideramos primero particiones ordenadas (es decir distinguimos primer bloque, segundo bloque, tercer bloque,...) y llamamos \( b_n \) al número de tales particiones de un conjunto de \( 3n \) elementos se tiene que:

\(  b_{n+1}=\displaystyle\binom{3(n+1)}{3}b_n \)

 ya que para formar una partición del conjunto \( [3(n+1)] \) elegimos los elementos de la primera partición y luego particionamos los \( [3n] \) restantes.

 Ahora como realmente no importa el orden de las particiones se tiene que \( a_n=b_n/n!. \)

 Termina...

 c) Una vez obtenida la relación de recurrencia comprueba que la fórmula dada cumple tal relación.

Saludos.