[matemlg]

Ejercicio:

Sea \( (X,Y) \) un vector absolutamente continuo con función de distribución \( F \). Sea \( Z=X+Y \). Calcular su distribución por definición.

Cuando lo planteo, escribo:

Dado \( z\in{\mathbb{R}} \), la función de distribución de Z es \( G(z)=P(X+Y\leq{z})
 \).  Ahora dibujo la recta \( Y=Z-X \) y veo que corta en el punto z a los ejes X e Y. Dicha probabilidad debería estar relacionada con el área bajo esa recta... ¿no? ¿me dan una pista de como seguir?

[Luis Fuentes]

Hola

 Vas más o menos bien. Pero la probabilidad no depende sólo del área, porque nadie dice que tu vector de partida este distribuido uniformemente. Por ser absolutamente continuo tendrá una densidad \( f(x,y) \). Entonces:

\( P(X+Y\leq z)=\displaystyle\int \displaystyle\int_{D}f(x,y)dxdy \)

\(  D=\{(x,y)\in R^2|x+y\leq z\} \)

Saludos.

[HernanV]

Observa que \( \displaystyle F_{Z}(z) = \mathbb{P}(Z \le z) = \mathbb{P}(X+Y \le z) = \mathbb{P}(X \le z - y) = F_{X}(z-y) = \int_{\forall y}{f_{XY}(z-y, y) \; dy} \).