[Fernanda]

Necesito ayuda para resolver el siguiente ejercicio:

Supongamos que \( n \) ejes cilíndricos hechos por una maquina son seleccionados al azar, de la producción de esta, y sus diámetros y longitudes son medidos. Se encontró que \( N_1_1 \) tiene ambas medidas dentro de la tolerancia de los limites, \( N_1_2 \) tiene longitudes satisfactorias pero diámetros insatisfactorios, \( N_2_1 \) tiene diámetros satisfactorios pero longitudes insatisfactorias y \( N_2_2 \) tiene ambas medidas insatisfactorias.
\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{N_ij}=n \).
Cada eje puede ser considerado como una muestra de una población multinomial con densidad \( (P_1_1)^x_1_1(P_1_2)^x_1_2(P_2_1)^x_2_1(1-P_1_1-P_1_2-P_2_1)^x_2_2 \) para \( x_i_j=0,1; \displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i_j}=1 \), teniendo tres parámetros.
¿Cuál es el estimador de máxima verosimilitud estimado de los parámetros si \( N_1_1=90 \), \( N_1_2=6 \), \( N_2_1=3 \), \( N_2_2=1 \)?

Gracias.

[Martingalo]

Hola!

Simplemente tienes que encontrar el valor máximo de la función de verosimilitud:

En tu caso \(  L(p_{11},p_{12},p_{21})= (p_{11})^{90} (p_{12})^{6} (p_{21})^{3} (1-p_{11}-p_{12}-p_{21})^{1} \)

entonces basta aplicar log:

\( \log L = 90 \log p_{11} + 6 \log p_{12} + 3 \log p_{21}+ \log (1-p_{11}-p_{12}-p_{21})  \)

derivamos con respecto a cada parámetro (por ejemplo \( p_{11} \):

\(  \frac{\partial \log L}{\partial p_{11}} = \frac{90}{p_{11}} - \frac{1}{1-p_{11}-p_{12}-p_{21}} = 0 \)

Ahora haces lo mismo con \( p_{12} \) y \(  p_{21} \) y obtendrás un sistema de tres incógnitas y tres ecuaciones que supongo podrás resolver obteniendo los valores de cara parámetro \( p_{ij} \)

Saludos